[Risolto] Svolgimento, spiegazione e disegno

Ciao!

La soluzione di Sebastiano è corretta, ti spiego solo brevemente cos'è il prodotto scalare canonico dato che lui non ti ha ancora risposto!

Prendiamo due vettori: $v_1 = (a_1, b_1, c_1) $ e $ v_2 = (a_2, b_2, c_2)$, il prodotto scalare è praticamente un prodotto tra vettori che ti restituisce un numero; lo puoi indicare con 

$ < v_1, v_2 > $ oppure con $v_1 \cdot v_2 $ e si calcola:

$a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 = 0 $ 

Il vettore perpendicolare al piano $4x-2y+z-2=0$ è $v1=(4,-2,1)$. Il vettore perpendicolare al piano $x+y+2z-6=0$ è $v2=(1,1,2)$. Troviamo un vettore perpendiclare sia a $v1$ che a $v2$, chiamiamolo $v3=(a,b,c)$.

Quindi il prodotto scalare canonico $<v1,v3>=0$ --> $4a-2b+c=0$ e il prodotto scalare canonico $<v2,v3>=0$ --> $a+b+2c=0$. Questo è un sistema di 2 equazioni in 3 incognite, da cui si ottiene che $a=-5/6c$ e $b=-7/6c$ --> il vettore $v3=(-5/6c,-7/6c,c)$ ma siccome c può essere qualunque, scegliamolo pari a -6 in modo da ottenere $v3=(5,7,-6)$. Le componenti di v3 sono i coefficienti di x,y,z del piano cercato.

Il piano è pertanto $5x+7y-6z+d=0$. Se deve passare per l'origine, allora il termine noto d deve essere anch'esso pari a 0, quindi in definitiva $5x+7y-6z=0$