[Risolto] svolgimento con spiegazione

Nella forma normale canonica il piano dato è
* Π ≡ x - y - z + 3 = 0
e quello richiesto è
* π(a, b, c, d) ≡ a*x + b*y + c*z + d = 0
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Le condizioni di passaggio impongono ai parametri (a, b, c, d) i vincoli
* per A(- 1, - 4, 2): a*(- 1) + b*(- 4) + c*2 + d = 0
* per B(- 3, 6, 0): a*(- 3) + b*6 + c*0 + d = 0
dal cui sistema si ha
* (a + 4*b - 2*c - d = 0) & (3*a - 6*b - d = 0) ≡
≡ (c = 5*b - a) & (d = 3*(a - 2*b))
e quindi
* π(a, b) ≡ a*x + b*y + (5*b - a)*z + 3*(a - 2*b) = 0
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La condizione di ortogonalità fra i due piani impone che si annulli il prodotto scalare fra i vettori dei coefficienti delle variabili
* Π χ π ≡ {1, - 1, - 1}.{a, b, c} = 0 ≡
≡ {1, - 1, - 1}.{a, b, (5*b - a)} = 0 ≡
≡ 2*(a - 3*b) = 0 ≡
≡ b = a/3
da cui
* π(a) ≡ a*(3*x + y + 2*z + 3) = 0
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Per soddisfare alla consegna "scrivi l'equazione di UN piano ..." occorre e basta assegnare un qualsiasi valore reale non nullo all'unico parametro "a".
Ad esempio, per "a = 1", si ha
* π(1) ≡ 3*x + y + 2*z + 3 = 0

Ciao!

Esprimiamo il piano implicitamente: $ -x+y+z -3 = 0 $

Se i due piano sono perpendicolari, allora devono essere perpendicolari anche i loro vettori direzione. 

Dati i due piano $ax+by+cz+d = 0 $ e $ex+fy+gx+h = 0$, essi hanno vettori direzione

$(a,b,c)$ e $(e,f,g)$, che sono perpendicolari se :

$a\cdot e+b\cdot f +c \cdot g = 0$

Nel nostro caso il piano ha vettore direzione: $(-1, +1, +1)$.

Il nostro piano generico $ax+by+cz+d = 0 $ deve avere vettore direzione tale che

$a(-1)+b(1)+c(1) = 0 $

quindi $-a+b+c = 0$. 

Possiamo inoltre imporre il passaggio per i punti $A(-1; -4; 2)$ e $B(-3; 6; 0)$:

$\begin{cases} a(-1)+b(-4)+c(2)+d = 0 \\ a(-3)+b(6)+c(0)+d = 0 \end{cases}$

e a questo possiamo aggiungere la condizione di prima:

$\begin{cases}  a(-1)+b(-4)+c(2)+d = 0 \\ a(-3)+b(6)+c(0)+d = 0 \\ -a+b+c = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} d= a +4b-2c \\ -3a +6b +a+4b-2c = 0 \\ -a+b+c = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} d= a +4b-2c \\ -2a +10b -2(a-b) = 0 \\ c = a-b \end{cases} $

$\begin{cases} d= a +4b-2c \\ -4a =-12b  \\ c = a-b \end{cases} $

$\begin{cases} d= 3b \\ a =3b   \\ c = 2b  \end{cases} $

Quindi il piano è:

$3b x + by+2bz+3b = 0 $

$b$ può essere qualsiasi numero (tranne $0$), quindi poniamo ad esempio $b = 1$ ottenendo:

$3x+y+2z+3 = 0 $