i. Si consideri lo spazio $\ell^2$. Per un insieme $E \subset \ell^2$, quali valgono tra le seguenti proprietà?
a. E è chiuso e limitato
b. E è compatto
ii. Mostrare che per ogni successione $\{u_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ limitata in $\ell^2$, si può estrarre una sottosuccessione $\{u_{\phi(k)}\}_{k \in \mathbb{N}}$ tale che la successione $\{(u_{\phi(k)}| e_i)\}_{k \in \mathbb{N}}$ converge $\forall i \in \mathbb{N}$ (ove $(|)$ è il prodotto scalare e $e_i$ è l'elemento di $\ell^2$ con 1 alla posizione i e 0 altrove).
iii. Mostrare quindi che la successione $\{(u_{\phi(k)}| v)\}_{k \in \mathbb{N}}$ converge $\forall v \in \ell^2$.
