Sia $\alpha>0$. Si consideri l'operatore $T$ definito su $C^0([-\alpha, \alpha], d_\infty)$ da $T(f)(x):=\int_0^x f(t) dt$.
a. Mostrare che $T$ è ben definito e che $T: C^0([-\alpha, \alpha], d_\infty) \to C^0([-\alpha, \alpha], d_\infty)$.
b. $T: C^0([-\alpha, \alpha], d_\infty) \to C^0([-\alpha, \alpha], d_\infty)$ è continuo?
c. Determinare, se esistono, valori di $\alpha>0$ per cui $T$ è una contrazione.
d. Determinare, se esistono, punti fissi per $T$.
e. Rispondere alle domande precedenti considerando $T: C^0([-\alpha, \alpha], d_\infty) \to C^1([-\alpha, \alpha], d^1_\infty)$, ove $d^1_\infty(f,g):=d_\infty (f,g) + d_\infty(f',g')$.
