Questa volta è tosta, ovviamente non è da proporre in classe 🙂
Spoiler
Codice LaTeX
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
% ---------------- LINGUA E FONT ----------------
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{microtype}
% ---------------- IMPAGINAZIONE ----------------
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\setstretch{1.00}
% ---------------- MATEMATICA ----------------
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,mathtools}
% ---------------- TABELLE ----------------
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\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\setlength{\extrarowheight}{2pt}
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\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}
% ---------------- LISTE ----------------
\usepackage{enumitem}
\setlist{
itemsep=0.3em,
topsep=0.3em,
parsep=0pt
}
% ================= DOCUMENTO =================
\begin{document}
\begin{center}
{\Large \textbf{Verifica di Matematica}}\\[0.2cm]
Nome: \underline{\hspace{4cm}} \hfill
Classe: \underline{\hspace{2.5cm}} \hfill
Data: \underline{\hspace{2.5cm}}
\end{center}
\textit{Ogni risposta deve essere giustificata. Qualora mancasse la giustificazione, l'esercizio verrà considerato non valido (0pt) a prescindere dal risultato ottenuto.}
\vspace{0.2cm}
\small{
\begin{tabularx}{\textwidth}{|C{1.2cm}|C{0.8cm}|X|C{2cm}|}
\hline
\textbf{Livello} & \textbf{N.} & \textbf{Esercizio} & \textbf{Punti} \\
\hline
\multirow{4}{*}{I}
& 1 &
Si individui e si rappresenti il dominio naturale delle seguenti espressioni analitiche.
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item $f_1(x)=\frac{1}{\tan x +2}$;
\item $f_2(x)= e^x\sqrt{x-2}+\ln (x^2+2x+1)$;
\item $f_3(x)= \ln (\frac{x}{x+2}) + \ln (x-2)$.
\end{enumerate}
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Si individuino, se esistono, i valori dei seguenti limiti:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x+2}\sin x}{x}$;
\item $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{\ln (1+x^2)}$;
\item $\lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x+1}{x-1})^x$.
\end{enumerate}
& \dots/3pt \\
\cline{2-4}
& 3 &
Si individui l'asintoto sinistro della funzione $f(x)=(x-1)e^{-\frac{1}{x}}$.
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 4 &
Svolgere una delle seguenti consegne:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item Si dimostri che $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$;
\item Stabilire se la funzione $f(x)=e^x+2x^3-1$ è continua nel punto $x_0=2$;
\item Verificare che l'equazione $e^x=\cos x$ ammette almeno una soluzione $\xi \in \mathbb{R}$;
\item Determinare al variare del parametro reale $k$ il valore del limite $\lim_{x \to 0^+}\frac{2 \sin x}{x^k}$;
\item Verificare mediante la definizione di limite che $\lim_{x \to {\frac{\pi}{2}}^{+}} \sin x=1$;
\item Spiegare la differenza tra punti di aderenza e punti di accumulazione.
\end{enumerate}
& \dots/5pt \\
\hline
\multirow{2}{*}{II}
& 1 &
Stabilire se il limite della seguente funzione esiste o meno: $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^3-x^2}$.
& \dots/6pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Studiare la continuità e classificare le eventuali discontinuità della funzione $f(x)=|\ln x| e^{\frac{1}{\ln x}}$.
& \dots/5pt \\
\hline
\multirow{1}{*}{III}
& 1 &
\textbf{Uniforme continuità vs continuità semplice}. Una funzione $f: D \to \mathbb{R}$ si dice uniformemente continua su $D$ se $\forall \epsilon>0\ \exists \delta >0:\ \forall x,y \in D,\ |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$.
Una funzione $f: D \to \mathbb{R}$ si dice continua su $D$ se $\forall x \in D\ \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0:\ \forall y \in D,\ |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$.
Si svolgano le seguenti consegne:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item Spiegare le differenze tra uniforme continuità e continuità semplice;
\item Verificare se la funzione $f(x)=x^3$ è uniformemente continua sul compatto $[0,1]\subseteq \mathbb{R}$.
\end{enumerate}
& \dots/10pt \\
\hline
\multirow{1}{*}{Jolly}
& 1 &
\textbf{Essere aperti è una proprietà topologica.} Sia $ \Omega \subseteq \mathbb{R}$ un sottoinsieme aperto non vuoto e sia $f \in C(\mathbb{R};\mathbb{R})$. Mostrare che $f^{-1}(\Omega)$ è aperto.
\textit{Nota: una proprietà si dice topologica se è mantenuta sotto un'applicazione continua.\newline Si ricorda che un insieme $A$ si dice aperto se per ogni $x \in A$ esiste $\epsilon >0$ tale che $B_\epsilon(x_0) \subseteq A$}.
& \dots/15pt \\
\hline
\end{tabularx}
}
\vspace{0.3cm}
\textit{Il questionario è stato scritto e condiviso da RebC - SOS Matematica.}
\vfill
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Voto:} & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10L \\
\hline
\textbf{Punteggio:} & $<5$ pt & 5 pt & 6 pt & 10 pt & 12 pt & 14 pt & 18 pt & $>18$ pt \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\textit{Buon lavoro!}
\end{center}
\end{document}
