Verifichina #2: polinomi, equazioni di primo grado e sistemi lineari

*Correzione: nel punto i dell'esercizio 2 è $-x(x+y)$.

Nota: il secondo (primo punto) e terzo livello sono fattibili con conoscenze liceali, la difficoltà è nel comprendere e risolvere sul momento. Il terzo livello è pensato come extra, può essere ignorato. 

Primo livello (12pt) + secondo punto del secondo livello (4pt) = (16pt) => 9,5.

.

@rebc sono convinto che il compito sia fattibile con conoscenze liceali, mi sembra molto curioso da svolgere (un po' ambizioso proporre il terzo livello ad una classe intera, ma ovviamente non è previsto che tutta la classe riesca a risovlerlo).

@gabo ad onor del vero l'esercizio 2.1 del secondo livello e il terzo livello nella verifica che ho proposto alla persona alla quale sto facendo ripetizioni erano diversi. Al 2.1 c'era un sistema a due incognite da risolvere con Cramer e al terzo un quesito stile olimpiadi sulle equazioni diofantee 🙂 (trovare tutti gli interi $x$ tale che $3x+5$ sia multiplo di $17$) . Come al solito il Jolly (in questo caso coincidente con il terzo livello) serve esclusivamente a non abbandonare chi riesce a fare di più e stimolarlo, i primi due livelli (fatti per intero equivalgono a più di un 10L) invece riescono a far capire chi ha padroneggiato o meno l'argomento e il loro effettivo livello. 

Qui ho postato esercizi un po' più dimostrativi dato che buona parte degli utenti attivi nel sito o ha concluso gli studi oppure sta per iniziare l'università.

@rebc L'esercizio sulle equazioni diofantee è una buona alternativa, in questo caso, senza tecniche geniali è possibile dimostrare che $f: D \to \mathbb{Z},\ f(x)=\frac{3}{17}x+\frac{5}{17}$ è tale che $D=\{x : x = 17a+4\},\ a \in \mathbb{Z}$. Volevo sapere se secondo te insegnare Cramer in secondo anno senza spiegare le matrici ha senso dal punto di vista didattico, mi piacerebbe sentire la tua opinione al riguardo.

@Fede_uwu-2 Per l'assegnazione dei 15 punti converrebbe mostrare ogni cosa prendendo in esame polinomi generici espliciti.

Segue la risposta che mi aspetterei da un liceale del biennio (sicuramente non medio) che ha avuto il coraggio di tentare il Jolly, ovviamente la difficoltà dell'esercizio è nella formalizzazione più che nell'operatività: 

Un generico elemento $p(x) \in \mathbb{R}[x]$ è scritto come:
$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$, ove i coefficienti $a_i$ sono reali.

i. Dati due polinomi $p(x) = \sum a_i x^i$ e $q(x) = \sum b_i x^i$, la loro somma è definita sommando i coefficienti dello stesso grado:
$(p+q)(x) = \sum (a_i + b_i)x^i$, la somma di due numeri reali è reale, quindi tale polinomio vive in $\mathbb{R}[x]$.

ii. v. Poiché la somma tra i coefficienti $a_i$ e $b_i$ è definita in $\mathbb{R}$ ed è commutativa ($a_i + b_i = b_i + a_i$), anche la somma tra polinomi è chiusa e commutativa; per lo stesso motivo inoltre vale l'associatività.

iii. Esiste il "polinomio nullo" $0(x)$, ove tutti i coefficienti sono nulli.  Sommarlo a qualunque $p(x)$ non cambia il risultato.

iv. Per ogni polinomio $p(x)$, esiste il polinomio $-p(x) = \sum (-a_i)x^i$ tale che la loro somma sia il polinomio nullo.

vi. Il prodotto di due polinomi $p(x) = \sum a_i x^i$ e $q(x) = \sum b_j x^j$ è definito come:
$(p \cdot q)(x) = \sum c_k x^k$, ove $c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j$.

Poiché ogni $c_k$ è ottenuto tramite somme e prodotti di elementi reali, ogni $c_k$ appartiene a $\mathbb{R}$. Quindi il prodotto è un polinomio in $\mathbb{R}[x]$.

vii. Deriva dall'associatività del prodotto e della somma in $\mathbb{R}$, oltre che dalla proprietà distributiva in $\mathbb{R}$.

viii. Bisogna verificare che $p(x) \cdot (q(x) + r(x)) = p(x) \cdot q(x) + p(x) \cdot r(x)$.
Sia $p(x) = \sum a_i x^i$, $q(x) = \sum b_j x^j$ e $r(x) = \sum d_j x^j$.
Il coefficiente di grado $k$ della parte sinistra è:
$\sum_{i+j=k} a_i (b_j + d_j)$
Usando la proprietà distributiva dei reali sui coefficienti, si ottiene:
$\sum_{i+j=k} (a_i b_j + a_i d_j) = \sum_{i+j=k} a_i b_j + \sum_{i+j=k} a_i d_j$.

Questa è la somma dei coefficienti di grado $k$ di $(p \cdot q)$ e $(p \cdot r)$.