Se $q \in \mathbb{Q}$, l’insieme limite della successione $a_k=\sin(k\pi q)$ è costituito da un numero finito di punti. Cosa accade quando $q$ è irrazionale?
Se $q \in \mathbb{Q}$, l’insieme limite della successione $a_k=\sin(k\pi q)$ è costituito da un numero finito di punti. Cosa accade quando $q$ è irrazionale?
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Livello 6
@rebc ...Beh, qualsiasi cosa accada alla successione ce ne faremo una ragione🤭
Tra q1=3.5 e q2=3.6 abbiamo una infinità di altri ak, a mio avviso e non un numero finito di punti come dici tu.
@LucianoP i punti sono finiti perché $q \in \mathbb{Q}$ implica che $q=\frac{n}{m}$, con $n,m \in \mathbb{Z}$, quindi si ha che $a(k)=\sin (k \frac{n \pi}{m} )$ con valori che si ripetono periodicamente ($q$ è fissato) dopo $N$ passi, ossia vale che $k \pi q \equiv (k+N) \pi q \mod 2\pi$.
Quindi $N \pi q \equiv 0 \implies Nq=2l$ e quindi $q=\frac{2l}{N}$ (se $q$ fosse irrazionale si arriverebbe ad un assurdo visto che $l, N$ sono interi), infatti l'insieme limite è dato da $\Lambda = a(1), a(2), ..., a(N-1) $.
Credo che accada la stessa cosa per i numeri reali situati su una retta orientata x: si ha comunque si prenda un intervallo piccolissimo a piacere, sia per valori di q razionali che irrazionali valori infiniti di punti. Solo che nel caso di punti reali si ha continuità , mentre nei due casi si hanno insiemi densi di punti.
Tieni presente che Q ed I nella loro unione formano un insieme continuo in quanto forniscono l'insieme R.
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Genius III