Quesito anti-noia invernale #12: Urti

m = 1·kg

Μ = 3·kg = 3·m

μ = 0.3 = coefficiente di attrito statico

f = k·x = 200·0.15 = 30N = forza di compressione della molla esercitata sul punto materiale di massa m all'inizio del processo

1) deve essere: f > fa ossia la forza esercitata dalla molle deve essere superiore all'attrito statico esercitato dal punto materiale m

fa = m·g·μ = 1·9.806·0.3 = 2.9418 N

Quindi il punto materiale di massa m si muove ed è soggetto ad un coefficiente di attrito dinamico pari a 

μ = 0.1

2) verifica dell'urto di m con M

Il primo punto deve percorrere una distanza pari a:

Δ = xo + d = 0.15 + 0.3 = 0.45 m

Quindi deve essere:

Εc > La

Cioè l'energia legata alla compressione della molla iniziale Ec deve essere maggiore delle forze d'attrito lungo il percorso Δ

Ec =1/2·k·x^2 = 1/2·200·0.15^2 = 2.25 J

La = m·g·μ·Δ = 1·9.806·0.1·0.45 = 0.44127 J

Il punto materiale di massa m urta M

3) Deve essere:

(m + Μ)·g·μ·s = Εc-La (=energia posseduta dalla massa m ante-urto)

s = (Εc-La)/(g·μ·(m + Μ)) =(2.25 - 0.44127)/(9.806·0.1·4) = 0.461 m

4) Energie dissipate

Ante urto= 0.44127 J

Post urto=2.25 - 0.44127 = 1.80873 J

Energia dissipata durante tutto il processo è pari a quella di compressione della molla.

1)  F elastica > F attrito;

F elastica = K x =200 * 0,15 = 30 N;

F attrito = μs * mg = 0,3 * 1 * 9,8 = 2,94 N;

F risultante = 30 - 2,94 = 27,06 N; il punto si muove; l'attrito diminuisce, diventa dinamico

F attrito dinamico = μk  * mg = 0,1 * 9,8 = 0,98 N;

Energia potenziale elastica = 1/2 k x^2 = 1/2 * 200 * 0,15^2 = 2,25 J;

L attrito = F attrito * x = 0,98 * 0,15 = 0,147 J; lavoro resistente nella fase di decompressione della molla;

1/2 m v^2 = 1/2  kx^2 - L attrito ;

1/2 m v^2 = 2,25 - 0,147;

1/2 * 1 * v^2 = 2,103 J; 

energia cinetica del blocco quando si stacca dalla molla;

2) resta la forza d'attrito dinamico agente  per  d = 0,30 m, la massa m perde energia e  velocità;

L attrito = - 0,98 * 0,30 = - 0,294 J; energia persa da  m,  lungo la distanza d = 0,30 m;

Energia cinetica finale: 1/2 m v1^2 = 1/2  m v^2 - 0,294;

1/2 * 1 * v1^2 = 2,103 - 0,294 = 1,81 J; energia della massa m prima dell'urto con M;

v1 = radicequadrata(2 * 1,81) = radice(3,62) = 1,9 m/s; (velocità di m);

m urta M anelasticamente; le masse si muovono con la stessa velocità v' dopo l'urto;

si conserva la quantità di moto;

(M + m) v' = m v1;

v' = m v1 /(M + m) = 1 * 1,9 / (3 + 1);

v' = 0,48 m/s;

Energia cinetica dopo l'urto =   1/2 (M + m) v'^2;

Energia cinetica dopo l'urto  = 1/2 * 4 * 0,48^2 = 0,46 J (circa);

3) Agisce sempre l'attrito dinamico che ferma le masse m + M = 4 kg:

F attrito = - 0,1 * 4 * 9,8 = - 3,92 N;

v finale = 0 m/s;

S = spazio percorso dalle due masse dopo l'urto;

1/2 (M + m) (v finale)^2 - 1/2 (M + m) v'^2 = F attrito * S; (teorema energia cinetica);

- 3,92 * S = 0 - 0,46;

S = 0,46 / 3,92 = 0,12 m.

4) Energia persa nell'urto: 0,46 - 1,81 =  - 1,35 J ;

Energia persa per attrito dinamico = - 0,147 - 0,294 - 0,46 = - 0,90 J;

L'energia elastica iniziale era 2,25 J;

l'energia totale persa è quella che aveva la molla;

infatti 

- 0,90 - 1,35 = - 2,25 J.

Ciao @rebc

premetto che ho dato una aggiustatina a testo e sketch perché, come originalmente scritti, paiono concepiti da un "minus habens" (come era uso dire il compianto ex Prof in circostanze come queste).

Energia potenziale elastica Upe = k/2*xo^2 = 100*0,15^2 = 2,25 J 

1

forza iniziale Fo = k*xo = 200*0,15 = 30,0 N 

forza opponente di primo distacco Fos = m*g*μs :

Fos = 1*9,8066*0,30 = 2,942 N << Fo ...la massa m accelera

2

distanza coperta da m = D = d+xo = 0,30+0,15 = 0,45 m 

corrispondente energia persa in attrito Ea = m*g*μd*D :

Ea = 1*9,8066*0,1*0,45 = 0,441 J << Upe , pertanto m raggiunge M

3

3a ante urto

Energia E posseduta da m quando urta M :

E = Upe-Ea = 2,25-0,441 = 1,809 J

Velocità V posseduta da m quando urta M :

V = √2E/m = √2*1,809 = 1,902 m/s

corrispondente Q. di M. = p = m*V = 1*1,902 = 1,902 kg*m/s

3b post urto 

p si conserva

velocità finale Vf = p/(m+M) = p/4 = 0,4755 m/s 

energia E' = (m+M)/2*Vf^2 = 2*0,4755^2 = 0,452 J

E' = (m+M)*g*μd*d'

distanza coperta d' = E'/((m+M)*g*μd)

d' = 0,452/(4*9,8066*0,1) = 0,115 m (11,5 cm) 

4

energia di deformazione persa nell'urto ΔE = E-E' = 1,809-0,452 = 1,357 J

energia dissipata in attrito radente = Upe-ΔE = 2,25-1,357 = 0,893 J