Quesito anti-noia #23: limiti di successione

@EidosM qui renderizza il testo, quindi ti taggo nuovamente. Si nominano $A_n$ e $B_n$ rispettivamente il primo e il secondo fattore.

Si calcola
\[
A_n=\Bigl(\frac{2n^2+3n+3}{2n^2}\Bigr)^{n^2}
=\Bigl(1+\underbrace{\frac{3n+3}{2n^2}}_{x_n}\Bigr)^{n^2},
\]
con
\[
x_n=\frac{3}{2n}+\frac{3}{2n^2}.
\]

Poi si calcola \(\ln A_n\) usando lo sviluppo di Taylor di \(\ln(1+x)\) fino a \(O(1/n)\):

\[
\ln A_n
= n^2\ln(1+x_n)
= n^2\Bigl(x_n-\tfrac{x_n^2}{2}+O(x_n^3)\Bigr).
\]

Ora
\[
x_n=\frac{3}{2n}+\frac{3}{2n^2},
\quad
x_n^2=\frac{9}{4n^2}+\frac{9}{n^3}+O\bigl(n^{-4}\bigr).
\]
Quindi
\[
\ln(1+x_n)
=\Bigl(\frac{3}{2n}+\frac{3}{2n^2}\Bigr)
-\tfrac12\Bigl(\frac{9}{4n^2}+\frac{9}{n^3}\Bigr)
+O\bigl(n^{-3}\bigr)
=\frac{3}{2n}+\frac{3}{8n^2}+O\bigl(n^{-3}\bigr).
\]
Moltiplicando per \(n^2\) si ottiene
\[
\ln A_n
= n^2\Bigl(\frac{3}{2n}+\frac{3}{8n^2}+O(n^{-3})\Bigr)
=\frac32\,n+\frac{3}{8}+O\bigl(\tfrac1n\bigr).
\]
Da cui
\[
A_n
=\exp\Bigl(\tfrac32n+\tfrac38+O(\tfrac1n)\Bigr)
=e^{3/8}\,e^{\tfrac32n}\bigl(1+O(\tfrac1n)\bigr).
\]

 Consideriamo ora il secondo fattore
\[
B_n=e^{-(3/2)n}+\tfrac1{n!}.
\]
Allora
\[
A_n\,B_n
=e^{3/8}\,e^{\tfrac32n}\bigl(1+O(\tfrac1n)\bigr)\
\Bigl(e^{-\tfrac32n}+\tfrac1{n!}\Bigr)
=e^{3/8}\bigl(1+O(\tfrac1n)\bigr)
+e^{3/8}\,e^{\tfrac32n}\,O\!\bigl(\tfrac1{n!}\bigr).
\]
Poiché \(e^{\tfrac32n}/n!\to0\) rapidissimamente, il secondo termine svanisce e restiamo con

\[
\lim_{n\to\infty}A_nB_n
=e^{3/8}.
\]

Ho usato mathgpt per riscrivere i conti in latex.

Il risultato e'+oo ?

@eidosm dovrebbe essere $e^{\frac{3}{8}}$, bisogna usare gli sviluppi di Taylor.

A me risulta così 

Ho dimenticato:2 all' esponente ma esce la stessa cosa