Quesito adatto a liceali.
Si dimostri che $$e^x+\ln x=0$$ ammette almeno una soluzione reale. Se ne dimostri poi l'unicità.
Facoltativo: si individui un intervallo di lunghezza $\frac{1}{8}$ nel quale si trova la soluzione.
Quesito adatto a liceali.
Si dimostri che $$e^x+\ln x=0$$ ammette almeno una soluzione reale. Se ne dimostri poi l'unicità.
Facoltativo: si individui un intervallo di lunghezza $\frac{1}{8}$ nel quale si trova la soluzione.
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Livello 6
a.
Consideriamo la funzione $ f(x) = e^x + lnx $
La tesi equivale a dimostrare che la funzione f(x) ammette uno ed un solo zero nell'insieme dove è definita.
Osserviamo che:
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
per il teorema di Bolzano generalizzato esiste almeno un x₀ appartenente al Dominio tale che
$f(x₀) = 0$
Per provare l'unicità dimostriamo la monotonia della funzione f(x).
$ f'(x) = e^x + \frac{1}{x}$
La somma di due termini positivi (ricordo che x > 0) è positiva quindi la funzione è monotona strettamente crescente, ovvero iniettiva. In quanto iniettiva lo zero è unico.
b.
Consideriamo l'intervallo [0.2 , 0.3] la cui lunghezza è < 1/8
Ovviamente 0∈[-0.389, 0,3], quindi per il teorema dei valori intermedi esiste x₀∈[0.2, 0.3] tale che f(x₀) = 0.
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Livello 6