Studio funzione

Intanto il disegno. Dopo cena ti rispondo:

Funzione razionale intera di 4° grado:

y = x^3·(x + 2)------> y = x^4 + 2·x^3

Nessuna particolarità

C.E. ]-inf;+inf[

Intersezioni con gli assi:

{y = x^3·(x + 2)

{y = 0

quindi: [x = 0 ∧ y = 0, x = -2 ∧ y = 0]

Con l'asse y: O(0,)

Segno funzione:

x^3·(x + 2) > 0------> x < -2 ∨ x > 0

x^3·(x + 2) < 0-------> -2 < x < 0

Condizioni agli estremi del C.E. (limiti):

LIM(x^3·(x + 2)) = +∞

x-----> -∞

anche:

LIM(x^3·(x + 2)) = +∞

x-----> +∞

La funzione, essendo di 4° grado ed il coefficiente di grado massimo pari, è illimitata superiormente, di conseguenza essendo continua, assieme alle sue derivate, risulta limitata inferiormente e quindi presenta sicuramente un minimo assoluto.

Come per le altre funzioni polinomiali non ci sono quindi asintoti.

Calcolo prime derivate:

y' = 2·x^2·(2·x + 3)

y'' = 12·x·(x + 1)

Studio crescenza e decrescenza:

y'>0-------> 2·x^2·(2·x + 3) > 0

se x ≠ 0 ∧ x > - 3/2

y'<0-------> 2·x^2·(2·x + 3) < 0

se x < - 3/2

y'=0------> 2·x^2·(2·x + 3) = 0

se x = - 3/2 ∨ x = 0

per x=-3/2 si ha un minimo assoluto e relativo; per x=0 un flesso a tangente orizzontale

y = (- 3/2)^3·(- 3/2 + 2)------> y = - 27/16

Concavità e convessità

y''>0-----> 12·x·(x + 1) > 0

se x < -1 ∨ x > 0  :concavità verso l'alto

y''<0 -----> 12·x·(x + 1) < 0

se -1 < x < 0 : concavità verso il basso

y''=0-----> 12·x·(x + 1) = 0

se x = -1 ∨ x = 0

per x=-1 punto di flesso F di ordinata:

y = (-1)^3·(-1 + 2)-----> y = -1 quindi F(-1,-1)

Retta tangente in F.

y+1= m(x+1)

con m=2·(-1)^2·(2·(-1) + 3)= 2

Quindi retta t: y + 1 = 2·(x + 1)-----> y = 2·x + 1

Intersezione con la funzione:

{y = 2·x + 1

{y = x^3·(x + 2)

si ottiene: (x = -1 ∧ y = -1) ∨ (x = 1 ∧ y = 3)

Quindi A(1,3)

Per l'ultimo punto:

2·x^2·(2·x + 3)=2

x = 1/2 ∨ x = -1

Quindi B ha ascissa x=1/2 ed ordinata

y = (1/2)^3·(1/2 + 2)= 5/16

B(1/2,5/16)

y-5/16=2(x-1/2)------> y = 2·x - 11/16

@Francesca_2929

Hai fatto la stessa domanda il 30 Aprile 

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/studio-funzione-polinomiale

LA GATTA FRETTOLOSA FECE I GATTINI CIECHI
Chi fa le cose di fretta si sbriga prima ma otterrà un risultato peggiore.
Chi pubblica senza aver fotografato la definizione di "ϝ" (δίγαμμα o vau) non può aspettarsi risposte ragionevoli ai punti b e c.
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a) La definizione
* Γ ≡ g(x) = y = (x + 2)*x^3 = x^4 + 2*x^3
dice che Γ è una quartica, grafico di un polinomio di grado quattro con uno zero semplice in x = - 2 e uno zero triplo nell'origine dove l'asse x le è tangente nell'unico flesso orizzontale; invece in x = - 3/2 la tangente orizzontale y = - 27/16 individua un minimo relativo. I limiti all'infinito, come per ogni polinomio di grado pari, divergono positivamente.
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b) Per comodità dattilografica (shift anziché copy/paste) sostituisco la vau con effe maiuscola.
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b1) La retta t, tangente Γ in F(u, v), è
* t ≡ y = v + k*(x - u)
dove
* k = m(u)
* dg/dx = m(x) = 2*(2*x + 3)*x^2
cioè
* t ≡ y = 2*((2*u + 3)*u^2)*x - 2*(2*u + 3)*u^3 + v
di pendenza
* m(u) = 2*(2*u + 3)*u^2
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b2) Il sistema
* t & Γ ≡
≡ (y = 2*(2*u + 3)*u^2)*x - 2*(2*u + 3)*u^3 + v) & (y = (x + 2)*x^3) ≡
≡ troppa dattilografia, decidi F e risolvi numericamente.
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c) Nel fascio delle parallele a t
* r(u) ≡ y = q + 2*(2*u + 3)*u^2)*x
trova il valore di q per cui il discriminante della risolvente del sistema
* r(u) & Γ
si annulli.