Studio fascio parabole

Ciao hai ottenuto per m=0 la parabola opposta quindi sbagliata!
Avresti dovuto ottenere: y=-x^2+4x-3.

(1+m)x^2-4x+(1-m)y+3-m=0

equivale a scrivere:

(x^2-4x+y+3) + m(x^2-y-1)=0

Se riesco continuo domani mattina. Buonanotte.

Riprendo.

Dall'espressione di sopra ottieni le due parabole generatrici del fascio:

x^2 - 4·x + y + 3 = 0------> y = - x^2 + 4·x - 3

x^2 - y - 1 = 0--------> y = x^2 - 1

Si ricercano gli eventuali punti base mettendo a sistema tali generatrici:

{y = - x^2 + 4·x - 3

{y = x^2 - 1

- x^2 + 4·x - 3 = x^2 - 1------> 2·x^2 - 4·x + 2 = 0-----> 2·(x - 1)^2 = 0

soluzione: [x = 1 ∧ y = 0]

Quindi si ottiene un unico punto con molteplicità 2: questo indica una sola retta tangente a tutte le parabole del fascio. Infatti il fascio si degenera con m=-1 in tale retta:

(x^2 - 4·x + y + 3) + (-1)·(x^2 - y - 1) = 0

- 4·x + 2·y + 4 = 0--------> y = 2·x - 2

mentre per m=1 si degenera nella retta x=1 (retta verticale passante per l'unico punto base del fascio)

A tale riguardo ti consiglio di vedere al link:

 

Alle 22:52 la serata è finita da un pezzo, io stavo andando a ninna.
Se c'è un solo parametro io lo chiamo k; per me m vuol dire pendenza.
Il fascio
* Γ(k) ≡ (1 + k)*x^2 - 4*x + (1 - k)*y + (3 - k) = 0
ha tre termini parametrici, quindi sono opportuni tre esami preliminari.
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Per k = - 1
* Γ(- 1) ≡ y = 2*(x - 1)
retta di pendenza due.
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Per k = + 1
* Γ(1) ≡ (x - 1)^2 = 0
parabola degenere su due rette coincidenti x = 1.
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Per k = + 3
* Γ(3) ≡ y = 2*x*(x - 1)
parabola ordinaria, per l'origine.
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Il sistema dei casi particolari
* (y = 2*(x - 1)) & ((x - 1)^2 = 0) & (y = 2*x*(x - 1)) ≡ T(1, 0)
dà un unico punto base che quindi dev'essere doppio, cioè di tangenza, e la comune tangente è proprio y = 2*(x - 1) perché il sistema è compatibile ed ha una sola soluzione.
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Per k != ± 1
* Γ(k) ≡ y = ((k + 1)*x^2 - 4*x - (k - 3))/(k - 1)
con pendenza
* m(x) = 2*((k + 1)*x - 2)/(k - 1)