Studio di funzione con arcotangente

y = x + pi + 2·ATAN(1/x)

C.E. x ≠ 0

In corrispondenza di tale punto la funzione presenta una discontinuità di 1^ specie:

LIM(x + pi + 2·ATAN(1/x)) =  0

x---> 0-

LIM(x + pi + 2·ATAN(1/x)) = 2·pi

x---> 0+

tengo presente che:

LIM(ATAN(1/x)) =- pi/2

x--->0-

LIM(ATAN(1/x)) =+ pi/2

x--->0+

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Per l'unica intersezione con asse delle x:

{y = x + pi + 2·ATAN(1/x)

{y = 0

devi risolvere l'equazione trascendente:

x +pi + 2·ATAN(1/x) = 0

Si può risolvere ad esempio con il Metodo delle tangenti di Newton.

A questo punto ti conviene calcolare le derivate:

y'= 1 - 2/(x^2 + 1)

y'' = 4·x/(x^2 + 1)^2

per x<0 la funzione presenta concavità verso il basso: y''<0

per x>0 concavità verso l'alto: y''>0

La derivata y' =0 per

1 - 2/(x^2 + 1) = 0----> x = -1 ∨ x = 1

Quindi due punti di stazionarietà

y = 1 + pi + 2·ATAN(1/1)----> y = 5.712388980

y = -1 + pi + 2·ATAN(1/(-1))----> y = 0.5707963267

[-1, 0.57] punto di massimo relativo

[1, 5.71] punto di minimo relativo

LIM(x + pi + 2·ATAN(1/x)) = -∞

x---> -∞

LIM(x + pi + 2·ATAN(1/x)) = +∞

x--->  +∞

Il grafico è:

Metodo numerico di Newton:

X(n+1)=X(n)-f(X(n))/f'(X(n))

nel nostro caso partiamo dal punto X0=-5 con la formula:

X(n+1)=x - (x + pi + 2·ATAN(1/x))/(1 - 2/(x^2 + 1))

X1=-2.559034995

X2=-2.337969333

X3=-2.331129978

X4= -2.33112237 Stop!!

x=-2.3311

La funzione
* y = f(x) = x + π + 2*arctg(1/x)
è indefinita solo per x = 0, altrove è definita reale.
Per il suo esame io inizierei dall'abbozzarne il grafico per vedere su cosa poi focalizzare l'attenzione.
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A) Limiti alla frontiera
A1) lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞
A2) lim_(x → 0-) f(x) = 0
A3) lim_(x → 0+) f(x) = 2*π
A4) lim_(x → + ∞) f(x) = + ∞
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B) Test delle derivate
* f'(x) = (x + 1)*(x - 1)/(x^2 + 1)
* f''(x) = 4*x/(x^2 + 1)^2
si notano l'assenza di flessi (in x = 0, f(x) non c'è)e i due estremi relativi in x = ± 1 che si classificano sul segno di f''(x)
* f''(- 1) = - 4*1/((- 1)^2 + 1)^2 = - 1 < 0 ≡ in x = - 1 c'è un massimo relativo
* f''(+ 1) = 4*1/(1^2 + 1)^2 = 1 > 0 ≡ in x = + 1 c'è un minimo relativo
quindi
* massimo relativo U(- 1, (π - 2)/2 ~= 0.57)
* minimo relativo L(+ 1, (3*π + 2)/2 ~= 5.7)
* yL ~= 10*yU
* esiste un unico X < - 1 tale che f(X) = 0.
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C) Calcolo dell'unico zero
L'equazione f(X) = 0, avendo sia termini trascendenti che razionali, non ha soluzione simbolica: si deve ricorrere a metodi grafico-numerici.
* y = f(X) = X + π + 2*arctg(1/X) = 0 ≡
≡ arctg(1/X) = - (X + π)/2 ≡
≡ (y = arctg(1/X)) & (y = - (X + π)/2)
ottenendo l'approssimazione
* X ~= - 2.3
* y ~= - 0.4
che è pessima, ma sufficiente a tracciare lo schizzo del grafico da cui poi ricavare il segno (x < X, f(x) < 0; x = X, f(x) = 0; x > X, f(x) > 0 o indefinita).