[Risolto] STUDIO DI FUNZIONE COMPLETO

$y(x) = \frac{ln(x)}{ln(x)-1}$

• Dominio.
  • • ln(x) ⇒ x > 0
    • /(ln(x)-1) ⇒ x ≠ e

Dominio = (0, e) U (e, +∞)

Continuità e derivabilità in tutto il dominio.

• Limiti & asintoti
  • • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = 1$
    • $\displaystyle\lim_{x \to e^-} y(x) = -\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to e^+} y(x) = \infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = 1$
  • Dal secondo e dal terzo limite deduciamo che siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = e.
  • Dal quarto limite deduciamo che la funzione ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y = 1.
  • Dal primo limite deduciamo che possiamo estendere con continuità la funzione con il punto P(0,1), siamo in presenza di una discontinuità eliminabile.

• Grafico

• Flessi.
  • • Derivata seconda $y^{(2)}(x) = \frac {ln(x)+1}{(x^2ln(x)-1)^3}$
    • Derivata seconda nulla. $y^{(2)}(x) = 0 \implies ln(x)= -1 \implies x = e^{-1}$
    • La derivata seconda è positiva nell'intorno sinistro del punto (y(x) è convessa) e negativa nell'intorno destro (y(x) concava) quindi si tratta di un flesso; le cui coordinate sono P(1/e, y(1/e)) = P(1/e, 1/2)