Studio di funzione

$ f(x) = ln(1+sin^4(x)) $

• Dominio = ℝ
  • La funzione è continua e derivabile laddove definita.
  • Non vi sono punti di discontinuità ne consegue nessun asintoto verticale.

• Simmetria.
  • La funzione è pari, f(-x) = f(x) per ogni x reale.

• Periodicità.
  • La funzione è periodica di periodo T = π (stessa periodicità di sin^4(x))
  • Possiamo così limitarci a studiare la funzione nell'intervallo [0, π)
  • Non vi sono asintoti obliqui/ orizzontali 

• min/Max assoluti
  • Poiché valgono le diseguaglianze $ 0 \le sin^4(x) \le 1 ne consegue che $ 0 \le f(x) \le ln(2) $ In particolare
    • minimo assoluto per $ x = kπ; \forall k \in \mathbb{Z} $
    • massimo assoluto per $ x = \frac{\pi}{2}+ kπ; \forall k \in \mathbb{Z} $ 

• Monotonia e min/max relativi
  • Derivata prima. $ f'(x) = 4sin^3(x)cos(x) $
  • Segno della derivata prima

0_________π/2__________π

0+++++++++++++++++0    4sin³(x)

++++++++0-----------------     cos(x)

0+++++++0-----------------0    f'(x)

=......↗.......=..........↘........=    f(x)

1. f(x) è strettamente crescente in (0 +kπ, π/2+kπ]
2. f(x) è strettamente crescente in [π/2 +kπ, π+kπ)
3. min. per x = kπ (decresce a sinistra e cresce a destra).
4. max. per x = π/2+kπ (cresce a sinistra e decresce a destra).

La derivata seconda è proibitiva.

• Grafico.

  https://www.desmos.com/calculator/c8o4gywrmc