[Risolto] studio di funzione

Per il dominio ti basta chiedere che il denominatore sia diverso da zero:

$ x^2 tg(x) \neq 0$

da cui ricavi:

$ x \neq 0$

e 

$ tg(x)  \neq 0$ -> $x \neq k\pi$

Inoltre per le condizioni sulla tangente:

$ x \neq  \frac{\pi}{2} + k\pi$

Mettendo tutto insieme possiamo scrivere semplicemente che il dominio è:

$ x \neq k \frac{\pi}{2}$

Per quanto riguarda il segno, studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$ sin(x^4) > 0$

$ 0 + 2k\pi < x^4 < \pi +2k\pi$

Spezziamo la disequazione:

$x^4 > 2k\pi$

dà come soluzione $ x < -\sqrt[4]{2k\pi}$ o $x > -\sqrt[4]{2k\pi}$ 

L'altro lato ci dà:

$ x^4 < \pi +2k\pi = (2k+1) \pi$

che dà come soluzione $-\sqrt[4]{(2k+1)\pi} < x < -\sqrt[4]{(2k+1)\pi}$

Quindi poiché devono essere verificate entrambe le soluzioni, abbiamo che:

 $-\sqrt[4]{(2k+1)\pi} < x < -\sqrt[4]{2k\pi} $ o $\sqrt[4]{2k\pi} < x < \sqrt[4]{(2k+1)\pi}$

Al denominatore invece:

$ x^2 tg(x) > 0$

La $x^2 > 0 \forall x$ quindi basta studiare

$ tg(x) > 0$ -> $0 +k\pi < x < \pi/2 + k\pi$

Dovremmo mettere insieme le due condizioni per studiarne il segno... ma è un po' complicato.

Vediamo cosa succede in $[-\pi, \pi]$

N: $-\sqrt[4]{\pi} < x < -\sqrt[4]{2\pi} $ o $0 < x < \sqrt[4]{\pi}$

D: $ 0 < x < \pi/2$ p $ -\pi < x < -\pi/2$

$-\pi$__$-\pi/2$__$-\sqrt[4]{\pi}$__$-\sqrt[4]{2\pi}$__0____$\sqrt[4]{\pi}$___$\pi$

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