[Risolto] Studio della seguente funzione

@fra291193

Ciao e benvenuto.

y = (x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)

Funzione razionale fratta

Non presenta particolarità: né pari, né dispari.

Determinazione del C.E.

Definita su tutto l'asse dei numeri reali ad eccezione dei valori che annullano il denominatore.

x^2 - 5·x - 6 ≠ 0-----> x ≠ 6 ∧ x ≠ -1-----> ]-inf;-1[U]-1;6[U]6;+inf[

Intersezione con gli assi

Con asse delle x:

{y = (x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)

{y = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 0, x = 3 ∧ y = 0]

Con asse delle y:

{y = (x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)

{x = 0

Risolvo ed ottengo:  [x = 0 ∧ y = -1]

Segno della funzione

(x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6) > 0

Risolvo ed ottengo:    2 < x < 3 ∨ x < -1 ∨ x > 6

(x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6) < 0

Risolvo ed ottengo:    3 < x < 6 ∨ -1 < x < 2

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = 1

x----> -∞

LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = +inf

x----> -1-

LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = - inf

x---->-1+

LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = -inf

x-----> 6-

LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = +inf

x---->6+

LIM((x^2 - 5·x + 6)/(x^2 - 5·x - 6)) = 1

x---->+∞

Il primo e l'ultimo limite indicano la presenza di un asintoto orizzontale di equazione y=1

Il 2° ed il 3° asintoto verticale x=-1

Il 4° ed il 5° asintoto verticale x=6

Derivate 

y'= 12·(5 - 2·x)/(x^2 - 5·x - 6)^2

y'' = 24·(3·x^2 - 15·x + 31)/(x^2 - 5·x - 6)^3

Studio derivata 1^

12·(5 - 2·x)/(x^2 - 5·x - 6)^2 ≥ 0-------> x ≤ 5/2

la funzione cresce per x < 5/2

12·(5 - 2·x)/(x^2 - 5·x - 6)^2 < 0---------> x > 5/2

la funzione decresce per  x>5/2

Presenta un punto di max relativo per x=5/2

f(5/2) = ((5/2)^2 - 5·(5/2) + 6)/((5/2)^2 - 5·(5/2) - 6) = 1/49

Studio derivata 2^

24·(3·x^2 - 15·x + 31)/(x^2 - 5·x - 6)^3 > 0 (non si annulla il numeratore!)

x < -1 ∨ x > 6  :  Presenta concavità verso l'alto

24·(3·x^2 - 15·x + 31)/(x^2 - 5·x - 6)^3 < 0

-1 < x < 6  : presenta concavità verso il basso