Studio della derivata seconda – Concavità/Convessità

y = (x^2 - 1)/(ABS(x - 2) + 3·x)

equivale ad una funzione definita a tratti:

per x ≥ 2:

y = (x^2 - 1)/((x - 2) + 3·x)----> y = (x^2 - 1)/(4·x - 2)

per x < 2:

y = (x^2 - 1)/((2 - x) + 3·x)----> y = (x^2 - 1)/(2·x + 2)

che per x ≠ -1 si scrive: y = (x - 1)/2

che equivale quindi ad una retta privata del punto [-1, -1]

(punto A del grafico allegato)

Punto di raccordo x=2 per cui la funzione vale:

y=1/2-----> [2,1/2]

(punto B del grafico allegato)

y=

{ (x^2 - 1)/(4·x - 2)   per x ≥ 2

{(x - 1)/2 per x < 2 con x ≠ -1

per la derivata seconda devi quindi derivare due volte le singole componenti.

 

 

* f(x) = y = (x^2 - 1)/(|x - 2| + 3*x) ≡
≡ (x < 2) & (f(x) = y = (x - 1)/2) oppure (x >= 2) & (f(x) = y = (x^2 - 1)/(2*(2*x - 1)))
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* f'(x) = (3*(x^2 + 1)*|x - 2| + x^3 - 6*x^2 + 9*x - 2)/(|x - 2|*(|x - 2| + 3*x)^2) ≡
≡ (x < 2) & (f'(x) = 1/2) oppure (x >= 2) & (f'(x) = (3/(2*x - 1)^2 + 1)/4)
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* f''(x) ≡ (x < 2) & (f''(x) = 0) oppure (x >= 2) & (f''(x) = - 3/(2*x - 1)^3)