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[Risolto] studio del segno di una funzione trigonometrica

  

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studia il segno della seguente funzione nel suo dominio (apri per foto esercizio)

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@Barbara.gml

Insieme di definizione:

cos(x) ≠ 0  ==>  x≠ pi/2 + k*pi

 

Studio del segno:

La funzione cos²(x) risulta essere sempre positiva (escludendo i valori che la rendono nulla) e non influisce sul segno dell'intera frazione.

Quindi:

 

f(x) > 0  ==> 1 - 2*sin (x) > 0

sin x < 1/2

 

- (7/6)*pi + 2*k*pi < x < pi/6 + 2*k*pi




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La funzione di variabile reale x
* f(x) = y = (1 - 2*sin(x))/cos^2(x)
è periodica in x con periodo T = 2*π, quindi basta esaminarla sull'intervallo [- π, π].
---------------
f(x) è zero in x = (3 ± 2)*π/6
f(x) è indefinita in x = ± π/2
* lim_(x → - π/2) (1 - 2*sin(x))/cos^2(x) = + ∞
* lim_(x → + π/2) (1 - 2*sin(x))/cos^2(x) = - ∞
i limiti agli estremi del periodo in esame coincidono coi valori
* f(± π) = 1
da cui la distinzione di casi sull'asse x
* - π <= x < - π/2: f(x) > 0
* x = - π/2: f(x) è indefinita
* - π/2 < x < π/6: f(x) > 0
* x = π/6: f(x) = 0
* π/6 < x < π/2: f(x) < 0
* x = π/2: f(x) è indefinita
* π/2 < x < 5*π/6: f(x) < 0
* x = 5*π/6: f(x) = 0
* 5*π/6 < x <= π: f(x) > 0

Risposta



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