Studia i seguenti fasci di parabole

GIA' COSI' VA UN PO' MEGLIO.
Però il Regolamento dice che DEVI TRASCRIVERE!
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NOTE
Io il parametro lo chiamo "k"; il nome "m" per me vuol dire "pendenza" (fisima vecchile, che ci vuoi fare.).
In entrambi gli esercizi l'assenza dei termini in (x*y, y^2) dice che tutte le parabole hanno asse di simmetria parallelo all'asse y.
Discuto anzitutto i valori particolari e poi, esclusi quelli e se c'è ancora qualcosa da discutere, l'equazione generica del fascio.
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452) Γ(k) ≡ (k + 1)*x^2 + 2*(2 - 3*k)*x + (k - 1)*y + (9*k + 4) = 0
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Per k = 0 si ha la parabola tangente l'asse x con asse x = - 2 e vertice V(- 2, 0).
Γ(0) ≡ y = (x + 2)^2
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Per k = - 1 si ha la parabola degenere su una retta semplice.
Γ(- 1) ≡ 10*x - 2*y - 5 = 0 ≡ y = 5*x - 5/2
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I punti base si determinano dal sistema
* (y = 5*x - 5/2) & (y = (x + 2)^2)
che ha risolvente
* (x + 2)^2 - (5*x - 5/2) = 0
che ha discriminante
* Δ = - 25 < 0
quindi il fascio Γ(k) ha ZERO PUNTI BASE.
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Per k = 2/3 si ha la parabola con asse x = 0 e vertice V(0, 30).
Γ(2/3) ≡ y = 5*x^2 + 30
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Per k = 1 NON si ha una parabola reale, ma la parabola degenere su una coppia di rette complesse parallele all'asse y.
Γ(1) ≡ (x - (1 - i*5)/2)*(x - (1 + i*5)/2) = 0
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Per k = - 4/9 si ha la parabola per l'origine con asse x = - 6 e vertice V(- 6, - 180/13).
Γ(- 4/9) ≡ y = (5/13)*(x + 12)*x
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Per k != 1 è lècito scrivere
Γ(k) ≡ y = ((1 + k)/(1 - k))*x^2 + (2*(2 - 3*k)/(1 - k))*x + (9*k + 4)/(1 - k) ≡
≡ ((1 + k)/(1 - k))*(x^2 + (10/(k + 1) - 6)*x + (9 - 5/(k + 1))) ≡
≡ ((1 + k)/(1 - k))*(x + (2 - 3*k)/(k + 1))^2 - 25*k/(k^2 - 1)
da questa forma si deducono le caratteristiche geometriche.
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* a = (1 + k)/(1 - k) = apertura
* per k < - 1: a < 0; concavità verso y < 0.
* per k = - 1: a = 0; nessuna concavità, caso degenere su retta semplice.
* per - 1 < k < 1: a > 0; concavità verso y > 0.
* per k = + 1: a indefinita; caso degenere su due parallele complesse.
* per k > + 1: a < 0; concavità verso y < 0.
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* f = 1/(4*|a|) = (|k - 1|/|k + 1|)/4 = distanza focale
che intercorre fra vertice V e fuoco F, a anche fra vertice V e direttrice d
* |Vf| = |Vd| = f = 1/(4*|a|)
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* V((3*k - 2)/(k + 1), 25*k/(1 - k^2)) = vertice
eliminando il parametro dalle coordinate si ha l'iperbole luogo dei vertici
* (x = (3*k - 2)/(k + 1)) & (y = 25*k/(1 - k^2)) ≡
≡ 5*x^2 - 2*x*y - 5*x + y - 30 = 0
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* F((3*k - 2)/(k + 1), 25*k/(1 - k^2) + 1/(4*a)) = fuoco
Ti lascio il piacere di calcolare il luogo dei fuochi (ho scritto un bel po').
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La discussione del 452 ti sia di falsariga per il 453.
453) y = (1 - k)*x^2 - (k + 2)*x + (2*k - 3)