Stima degli errori.

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Stabiliamo dove la funzione $f$ è crescente calcolandone la derivata prima:

$ f(x)=\frac{e^x}{x}$

$f'(x)=\frac{xe^x-e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$

Studiandone il segno abbiamo che la funzione è crescente per $x>1$ (nota che $e^x$ e $x^2$ sono sempre positivi).

Dunque nell'intervallo $[1,2]$ la funzione è crescente e dunque:

$f(1)\leq f(x)\leq f(2)$

$\frac{e^1}{1} \leq \frac{e^x}{x} \leq \frac{e^2}{2}$

e integrando ogni termine (possiamo farlo perché $f$ è crescente in $[1,2]$ ma è anche positiva in tale intervallo) abbamo:

$\int_1^2 e dx \leq  \int_1^2 \frac{e^x}{x} dx \leq \int_1^2 \frac{e^2}{2} dx$

$e \leq  \int_1^2 \frac{e^x}{x} dx \leq \frac{e^2}{2}$

Calcoliamo ora la derivata seconda:

$f^{(2)}(x)=\frac{D[e^x(x-1)]x^2-e^x(x-1)D[x^2])}{x^4}$

$f^{(2)}(x)=\frac{[e^x(x-1)+e^x]x^2-e^x(x-1)(2x)}{x^4}$

metto l'esponenziale in evidenza:

$f^{(2)}(x)=e^x\frac{[x-1+1]x^2-(x-1)(2x)}{x^4}$

e svolgo le restanti operazioni:

$f^{(2)}(x)=e^x\frac{x^3-2x^2+2x}{x^4}$

semplificando una $x$ otteniamo:

$f^{(2)}(x)=\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}$

Per $x\in[1,2]$ abbiamo che sicuramente

$\left|\frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}\right|\leq|e^x(x^2-2x+2)|$

Nota che l'esponenziale è sempre crescente e in $[1,2]$ ha come massimo $e^2$.-

Il secondo fattore è crescente in [1,2] (la derivata è $2x-2$, positiva per $x>1$) e ha massimo in $x=2$, dunque possiamo ancora maggiorare come:

$\leq e^2(4-4+2) = 2e^2$

L'errore che otteniamo nell'integrare con il metodo del rettangolo si può stimare come:

$\epsilon = h^2\frac{(b-a)^3}{24}f^{(2)}(t)$

Nel nostro caso abbiamo $b-a=2-1=1$, e $h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{100}$, dunque possiamo stimare:

$\epsilon < \left(\frac{1}{100} \right)^2\cdot \frac{1}{24} \cdot 2e^2 = 6\times 10^{-5} < 10^{-4}$

Noemi