[Risolto] Stabilisci la posizione della retta rispetto alla circonferenza, nei casi in cui la retta non sia esterna, determina le coordinate dei punti di intersezione o quelle del punto di tangenza.

@marik4_donzella

Ciao e benvenuta.

Devi mettere a sistema i due luoghi geometrici considerati: pervieni ad una equazione di secondo grado in cui, in base ai valori di DELTA puoi trarre le tue conclusioni:

DELTA >0 2 intersezioni e la retta è quindi SECANTE

DELTA <0 nessuna intersezione e la retta è ESTERNA

DELTA = 0 la retta è TANGENTE

Come quindi detto sopra:

{x^2 + y^2 + 4·x - 2·y = 0

{x + 3·y + 4 = 0

procedo per sostituzione

x = - 3·y - 4

(- 3·y - 4)^2 + y^2 + 4·(- 3·y - 4) - 2·y = 0

(9·y^2 + 24·y + 16) + y^2 + (- 12·y - 16) - 2·y = 0

10·y^2 + 10·y = 0 ------> Δ = b^2------> 100 > 0 retta SECANTE

risolvo: y = -1 ∨ y = 0

x = - 3·(-1) - 4     -----> x = -1

x = - 3·0 - 4 -----> x = -4

Quindi secante nei punti: x = -1 ∧ y = -1 ; x = -4 ∧ y = 0

 

In entrambi gli esercizi hai le equazioni di retta e circonferenza, tutt'e due nella forma normale canonica, p(x, y) = 0, di polinomio in due variabili eguagliato a zero.
a) (x + 3*y + 4 = 0) & (x^2 + y^2 + 4*x - 2*y = 0)
b) (3*x - 2*y - 6 = 0) & (x^2 + y^2 - 6*x - 16*y + 60 = 0)
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Per stabilire sia l'esistenza di punti comuni reali che eventualmente le loro coordinate si isola una variabile dalla retta e se ne sostituisce l'espressione nella circonferenza ottenendo la risolvente di grado due nell'altra variabile.
a) (y = - (x + 4)/3) & (x^2 + (- (x + 4)/3)^2 + 4*x - 2*(- (x + 4)/3) = 0)
b) (y = 3*(x - 2)/2) & (x^2 + (3*(x - 2)/2)^2 - 6*x - 16*(3*(x - 2)/2) + 60 = 0)
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Si normalizza la risolvente e si cerca di scomporne il trinomio quadratico.
a) x^2 + (- (x + 4)/3)^2 + 4*x - 2*(- (x + 4)/3) = 0 ≡
≡ x^2 + 5*x + 4 = 0 ≡
≡ (x + 4)*(x + 1) = 0
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b) x^2 + (3*(x - 2)/2)^2 - 6*x - 16*(3*(x - 2)/2) + 60 = 0 ≡
≡ x^2 - 12*x + 36 = 0 ≡
≡ (x - 6)^2 = 0
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Se non s'è potuto trovare una scomposizione reale, non ci sono punti comuni reali: la retta è esterna alla circonferenza.
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Se il trinomio s'è rivelato un quadrato di binomio, c'è in comune un punto reale doppio T: la retta è tangente la circonferenza.
b) (x - 6)^2 = 0 ≡ x = 6
* y = 3*(x - 2)/2 = 3*(6 - 2)/2 = 6
* T(6, 6)
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Se il trinomio s'è scomposto in due binomi distinti, ci sono due distinti punti comuni reali, S1 e S2: la retta è secante la circonferenza.
a) (x + 4)*(x + 1) = 0 ≡ (x = - 4) oppure (x = - 1)
da
* y(x) = - (x + 4)/3
si ha
* y(- 4) = - (- 4 + 4)/3 = 0
* y(- 1) = - (- 1 + 4)/3 = - 1
da cui
* S1(- 4, 0), S2(- 1, - 1)