spiega perché le funzioni non sono derivabili nel punto x0 indicato

La prima non é derivabile perché

y' =

{ 1/(2 sqrt(x)) per x >= 0

{ 2x + 1 per x < 0

Essendo

lim_x->0- y'(x) = 1

lim_x->0+ y'(x) = +oo 

i due limiti sono diversi

La seconda é una funzione composta,

il valore assoluto non é derivabile nei punti in cui

si annulla il suo argomento. Per esteso

f(x) =

{ 3 - x + 1 = - x + 4 per x < 3

{ x - 3 + 1 = x - 2 per x >= 3

E allora

f'(x) =

{ - 1 per x < 3

{ 1 per x >= 3

e, ancora, i due limiti sono diversi.

Il regolamento prevede un solo esercizio per post. 

101. Se fosse derivabile le due derivate laterali dovrebbero essere eguali. In questo caso, la situazione è più grave, la derivata destra non esiste. Infatti, dalla definizione di derivata destra calcolata nel punto x₀ = 0 segue

$ \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{0+h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = +\infty$

e per definizione le derivate devono essere finite.

Per essere derivabile in un punto, una funzione deve essere continua in quel punto; il limite destro e il limite sinistro devono coincidere.

Ciao