Sottogruppi di un gruppo

Question

Salve, teoricamente ho capito cosa è un sottogruppo di un gruppo ma praticamente non so come verificarlo.
Per esempio se ho un gruppo G = {0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto l'operazione somma modulo 8 quali sono i sottogruppi? e praticamente quali operazioni devo effettuare? so che per essere un sottogruppo deve essere chiuso rispetto all'operazione del gruppo (nel caso finito)

N.B
Quale è la differenza tra sottogruppo generato da X e sottogruppo ciclico?
per ora mi è sembrato di notare solo che il sottogruppo generato da X può avere X ={ n elementi }
mentre il sottogruppo ciclico è composto esclusivamente da un elemento. è corretto?

Autore

Risposta

Daniele11000

(@daniele11000)

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20/01/2023 19:10

exProf · Accepted Answer

NON PROPRIO: "generato", non "composto".
Un sottogruppo di un gruppo ciclico (generabile da un solo elemento) è ciclico.
I resti modulo 8 ([0 .. 7]) della somma x + y con (x, y) in [0 .. 7] sono un gruppo ciclico che si genera dal solo elemento {1} perché sia x che y si possono esprimere come
* (1 + 1 + ...) mod 8
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"praticamente non so come verificarlo" e "quali sono i sottogruppi?" sono due richieste parecchio diverse perché la prima vuol dire "Ti dò due gruppi g e G, come si fa a dimostrare o confutare che g sia sottogruppo di G?" e la seconda vuol dire "Ti dò il gruppo G, e ti chiedo di produrre i suoi sottogruppi oppure la dimostrazione che non ce ne sono."
Per il tuo esempio, nel gruppo
* G = ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, + mod 8)
ci son senz'altro quelli composti con partizioni dell'otto prive di ripetizioni
* {0, 1, 7}, {0, 1, 2, 5}, {0, 2, 6}, {0, 3, 5}, {0, 1, 2, 5}, ... e simili
poi devi procedere per tentativi di aggiunte.

exProf

(@exprof)

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20/01/2023 20:36

[Risolto] Sottogruppi di un gruppo

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