[Risolto] Somma e prodotto delle soluzioni di un’equazione di secondo grado

Se fai il prodotto di due binomii monici in x
* (x - a)*(x - b) = x^2 - (a + b)*x + a*b
ottieni un trinomio quadratico monico con:
* zeri per (x = a) oppure (x = b);
* termine noto eguale al prodotto degli zeri;
* coefficiente del termine lineare eguale all'opposto della somma degli zeri.
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La soluzione di ogni equazione di secondo grado è una coppia ordinata di valori, detti radici dell'equazione, tali che sostituendoli alla variabile si soddisfaccia all'equazione.
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Se l'equazione è ridotta alla forma canonica
* trinomio quadratico = 0
allora, dividendola membro a membro per il coefficiente direttore si ottiene a primo membro un trinomio quadratico monico i cui zeri sono le radici dell'equazione e quindi dal quale si possono leggere la somma e il prodotto delle radici NON GIA' "senza risolvere l'equazione", MA ANZI USANDO CIO' PER RISOLVERE L'EQUAZIONE.
Invece di "senza" si sarebbe dovuto scrivere "prima di".
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ESERCIZIO 466
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* (1 - √2)*x^2 - (√2 + 1)*x + 1 = 0 ≡
≡ x^2 - ((√2 + 1)/(1 - √2))*x + 1/(1 - √2) = 0
da cui
* s = (√2 + 1)/(1 - √2) = (√2 + 1)*(√2 + 1)/((√2 + 1)*(1 - √2)) = - (3 + 2*√2)
* p = 1/(1 - √2) = (√2 + 1)/((√2 + 1)*(1 - √2)) = - (1 + √2)
e l'equazione si semplifica in
* (1 - √2)*x^2 - (√2 + 1)*x + 1 = 0 ≡
≡ x^2 - ((√2 + 1)/(1 - √2))*x + 1/(1 - √2) = 0 ≡
≡ x^2 + (3 + 2*√2)*x - (1 + √2) = 0
che si scompone con pochi passaggi
* x^2 + (3 + 2*√2)*x - (1 + √2) = 0 ≡
≡ (x + (3 + 2*√2)/2)^2 - ((3 + 2*√2)/2)^2 - (1 + √2) = 0 ≡
≡ (x + (3 + 2*√2)/2)^2 = (21 + 16*√2)/4 ≡
≡ x + (3 + 2*√2)/2 = ± √(21 + 16*√2)/2 ≡
≡ x = - (3 + 2*√2)/2 ± √(21 + 16*√2)/2 ≡
≡ x = (- (3 + 2*√2) ± √(21 + 16*√2))/2