Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di aiuto per svolgere il seguente limite:
$\lim_{x\to0}{\frac{\sin{\left(\pi\cos{x}\right)}}{x\sin{x}}}$
Mi viene la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ e non riesco a capire come andare avanti.
Avevo pensato di moltiplicare e dividere per $\pi\cos{x}$ così da poter usare il limite notevole $\lim_{x\to0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$ ma non sono sicura che si possa fare e comunque dopo non riesco ad andare avanti...
Grazie a chi mi aiuterà! 🙃
298
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Livello 1
No, non si può fare così, in quanto l'argomento del seno non tende a 0, ma tende a $\pi$.
Moltiplicherei e dividerei come prima cosa per $x$ e userei il limite notevole che hai menzionato tu:
$\frac{sin(\pi cosx)}{x^2}$
adesso userei il limite notevole $\lim_{x\to 0} \frac{1-cosx}{x^2}=1/2$
quindi andrei a sostituire $cosx=1-\frac{1}{2}x^2$ quindi
$\frac{sin(\pi (1-\frac{1}{2}x^2))}{x^2}= \frac{sin(\pi -\frac{\pi}{2}x^2))}{x^2}$
ma il $sin(\pi-\alpha)=sin(\alpha)$ quindi
$\frac{sin(\frac{\pi}{2}x^2))}{x^2}$
e adesso se moltiplichi e dividi per $\pi/2$ e utilizzi il limite notevole $\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1$
ti resta come risultato $\pi/2$
16231
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Livello 9
@sebastiano chiarissimo, grazie!
@Marta_Nicolini prego 🙂
