Grazie, ma non penso che sia così semplice.
Perchè l'estremo superiore è min(z-x, 20), e si devono distinguere i due casi.
La densità di X è fX(x) = 1/10 e^(-x/10) * 1(x)
La densità di Y è fY(y) = 1/10 in [ 10, 20 ] e 0 altrove.
Pr [ X + Y <= z ] =
= 0 se z è minore di 10
= Pr [ (X,Y) in Dz ] con X in [0, +oo[ e 10 <= Y <= z - x
SS_[Dz] fXY(x,y) dx dy =
= S_[0,+oo] S_[10, min(z-x, 20) ] 1/10 * e^(-x/10) * 1/10 dy dx =
= 1/100 S_[0,+oo] ( min(z-x, 20) - 10 ) e^(-x/10) dy dx
si devono trattare i due casi - spezzare l'intervallo - e poi derivare rispetto a z
E' tutto questo che trovo farraginoso. Può anche essere che sia corretto, ma non ho avuto il coraggio di proseguire.
Credo di aver capito che cosa ho sbagliato: non ho considerato la vaeriabilità degli estremi inferiori.
Questo lo rende ancora più laborioso. Ma ora mi sono trovato il valore corretto nell'intervallo da 10 a 20,
e penso quindi che si troverebbe anche da 20 in poi.
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L'ho fatto --- il trucco era tracciare il grafico ed interpretarlo
FZ(z) =
{ 0 per z < 10
{ 1/100 S_[0,z-10] S_[10,z-x] e^(-x/10) dy dx per 10 <= z <= 20
{ 1/100 S_[0,z-20] S_[10,20] e^(-x/10) dy dx + 1/100 S_[z-20,z-10] S_[10,z-x] e^(-x/10) dy dx
per z >20
Facendo svolgere questi integrali a Symbolab esce una CDF la cui derivata è esattamente uguale al risultato che ho ottenuto con le Trasformate di Laplace
Grazie per la collaborazione 🙂
