[Risolto] Equazione parametrica

a) L’ equazione assume significato se $\Delta \geq 0$

quindi:

$b^2-4ac \geq 0$ $ (4h)^2 – 4 \cdot 4 (-2h-1) \geq 0$

$16h^2 + 32h + 16 \geq 0$ $h^2 + 2h + 1 \geq 0$

$(h + 1)^2 \geq 0$

Se le radici sono coincidenti, abbiamo che $x_1 = x_2$

In questo caso dobbiamo porre

$\Delta =0$

$b^2 – 4ac = 0$

$(4h)^2 – 4 \cdot 4(-2h-1) = 0$

$16h^2 + 32h + 16 = 0$

$h^2 + 2h + 1 = 0$

$(h + 1)^2 = 0 $

allora $h = -1$

b) Se la somma dei reciproci delle radici è 1 , abbiamo che $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 1 $

calcoliamo il minimo comune multiplo

$x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$

Sapendo che la somma delle radici è data dalla formula - b/a e il loro prodotto è c/a, possiamo scrivere che:

– b/a = c/a

Quindi: $– \frac{4h}{4} = \frac{-2h – 1}{4}$

$- 4h = – 2h – 1$

$-2h + 1 = 0 $

allora h = 1/2

4x^2 + 4hx - (2h +1 ) = 0

Prima di tutto imponiamo la realtà delle radici :

D =  (4h)^2 + 4*4 (2h + 1) >= 0

16 h^2 + 16(2h + 1) >= 0

dividendo per 16

h^2 + 2h + 1 >= 0

(h + 1)^2 >= 0      è sempre verificata per cui le radici sono reali per ogni h in R.

 

In particolare esse risulteranno coincidenti quando D = 0 =>  h + 1 = 0  =>  h = -1.

Per l'altra richiesta, essendo

1/x1 + 1/x2 = -B/C,

 

dovrà risultare    - 4h / [- (2h + 1) ] = 1

4h = 2h + 1        con h =/= -1/2

2h = 1

h = 1/2.