Solido di rotazione numero 72

@luigi2

Le facce laterali della piramide sono triangoli isosceli di base AB= 2L, angolo al vertice V di ampiezza 2x e altezza pari all'apotema della piramide. L'apotema del solido è:

a = (AB/2)* tan (90 - x) = L* tan(90 - x) 

Vogliamo che la superficie totale del solido sia il doppio della superficie laterale. Quindi vogliamo che:

S_base = S_laterale

Allora il raggio della circonferenza inscritta nell'esagono di base (altezza di un triangolo equilatero di lato 2L) deve essere uguale all'apotema della piramide. 

Il raggio della circonferenza inscritta è:

r = (2L/2)*radice (3) = L*radice (3)

Quindi:

L*radice (3) = L* tan(90 - x) 

tan (90 - x) = radice (3)

(90 - x) = 60

x= 30 gradi 

@luigi2

Vedo ora che ho risolto il 71. Scusa ma come ti ho detto le foto risultano poco visibili soprattutto a cellulare.

AB = apotema cono vertice A

AH = altezza cono vertice A

BC = apotema cono vertice C

HC = altezza cono vertice C

BH = raggio di base comune 

La rotazione del triangolo isoscele attorno al lato obliquo AC genera due coni aventi la stessa base (raggio di base congruente con l'altezza relativa al lato obliquo AC) ed apotema congruente rispettivamente con il lato obliquo del triangolo isoscele (cono di vertice A) e la base del triangolo isoscele BC (cono di vertice C).

Avendo i due coni la base in comune, il rapporto tra le superfici laterali è pari al rapporto tra l'apotema del primo e secondo cono, ossia :

AB / BC = lato_obliquo / 2*(lato_obliquo * sin x) = 1/ 2*sin x

Quindi 

1/ (2*sin x) = (radice (6) + radice (2))/2

1/ sin x = (radice (6) + radice (2))

Essendo:

1/(sin(45 - 30)) = 1/(sin 15) = radice (6)+radice (2)

la soluzione del problema è:

x= 15 gradi 

Angolo (A) = 30 gradi 

Angolo (B) = Angolo (C) = (180-30)/2 = 75 gradi