Una circonferenza ha il centro sulla retta
r: $y=x+2$
ed è tangente alla retta
s: $y=3 x-2$.
Dimostra che il raggio della circonferenza è minore di $\sqrt{10}$ solo se lascissa del centro della circonferenza assume valori nell'intervallo $]-3$; 7].
Una circonferenza ha il centro sulla retta
r: $y=x+2$
ed è tangente alla retta
s: $y=3 x-2$.
Dimostra che il raggio della circonferenza è minore di $\sqrt{10}$ solo se lascissa del centro della circonferenza assume valori nell'intervallo $]-3$; 7].
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Livello 0
Ciao e benvenuto.
Ti do una mano più tardi!
Ti rispondo ora, passate due ore dalla tua domanda....
Il centro della circonferenza ha coordinate: C(x, x + 2) dovendo stare sulla retta
y = x + 2
La distanza d di questo punto dalla retta: 3·x - y - 2 = 0 è data dalla misura del raggio r della stessa.
Quindi:
r = d = ABS(3·x - (x + 2) - 2)/√(3^2 + (-1)^2)
d = √10·ABS(x - 2)/5 ∧ r = d
Deve quindi essere:
d < √10-----> √10·ABS(x - 2)/5 < √10-----> ABS(x - 2) < 5
che significa:
{x - 2 < 5
{x - 2 > -5
quindi deve essere: [-3 < x < 7]
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Genius III
Il centro C(k, k + 2) è un cursore della retta r.
La sua distanza dalla retta s è d(k) = |k - 2|*√(2/5), che è il raggio delle circonferenze del fascio
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (k + 2))^2 = (|k - 2|*√(2/5))^2 ≡
≡ 5*x^2 + 5*y^2 - 10*k*x - 10*(k + 2)*y + 4*(k + 3)*(2*k + 1) = 0
Risolvendo la disequazione
* |k - 2|*√(2/5) < √10 ≡
≡ |k - 2| < 5 ≡
≡ - 5 < k - 2 < 5 ≡
≡ - 3 < k < 7
IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO PER SOVRABBONDANZA.
Infatti
* d(7) = |7 - 2|*√(2/5) = √10
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Genius I