[Risolto] solido di rotazione

 

Ciao di nuovo @luigi2!

Dalla traccia sappiamo che AB=1. Chiamo H il punto medio di AB, nonché piede della perpendicolare condotta dal centro C ad AB. Pertanto AH=HB=1/2.

Esprimiamo il raggio della circonferenza in funzione dell'angolo BAC=x utilizzando le formule di tringonometria:

$AC=BC=\frac{AH}{cosx}=\frac{1}{2cosx}$

Il triangolo ABP è per costruzione un triangolo rettangolo, pertanto:

$BP=AB sinx = sinx$

Possiamo dunque scrivere che:

$BC^2 + BP^2 = \frac{1}{4cos^2x}+sin^2x$

 

Passiamo al calcolo del volume del solido. Per x=30° abbiamo che:

$BC= \frac{1}{2cos30} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$BP= sin(30) = 1/2$

E pertanto

$PC = \sqrt{BC^2-BP^2} = \sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Ricordando che il volume del cono è:

$V= \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi BC^2 PC}{3}$

otteniamo

$V=\frac{\pi \frac{1}{3} \frac{1}{12}}{3} = \pi \frac{1}{108}$

 

Ciao!