[Risolto] Solido composto numero 544

Cono equilatero: diametro del cerchio di base = apotema.

Chiamiamo il raggio di base x; il diametro è 2x; l'apotema = 2x.

r = x;

h cono = rad[(2x)^2 - x^2) = rad(3x^2) = x * rad(3);

Volume cono = pigreco * x^2 * x rad(3) / 3;

Volume dei due coni = 2 * [ pigreco * x^2 * x rad(3) / 3];

Volume dei due coni = 2pigreco x^3 rad(3)/3;

V cilindro =pigreco x^2 * (h cilindro);

Non ho l'altezza del cilindro; dobbiamo ricavarla  dal volume!

h = Volume cilindro / (Area base);

V cilindro = (8 cm^3) - 2pigreco x^3 rad(3)/3;

h cilindro = Volume / (pigreco * r^2)= [8 - 2pigreco x^3 rad(3)/3] / (pigreco x^2);

h cilindro = [8 / (pigreco x^2)] - [2  rad(3)  x / 3] ;

Area laterale cono = circonferenza * apotema / 2 = 2 pigreco x * 2x / 2 = 2 pigreco x^2;

Area laterale dei due coni = 2 * (2 pigreco x^2) = 4 pigreco x^2;

Area laterale cilindro = 2 pigreco * x * h;

Area laterale cilindro  = 2 pigreco * x  * [8 / (pigreco x^2) - 2 rad(3) x / 3];

Area laterale cilindro = [16 /x] - [4 pigreco x^2 rad(3) / 3];

Area totale = 4 pigreco x^2 + [16 /x] - [4 pigreco x^2 rad(3) / 3];

Area totale = 16/x + 4 pigreco x^2 * [1 -  rad(3)/3];

Area (x)  = f(x),  per quale valore del raggio x sarà minima?

Derivata prima di A(x):

f'(x) = - 16/x^2 + 4 pigreco * [1 - rad(3)/3] * 2x;

f'(x) = - 16/x^2 + 8 pigreco * [1 -  rad(3)/3] x;

dividiamo per 8:

f'(x) = - 2/x^2 + pigreco * [1 -  rad(3)/3] x;

 

f'(x) = 0;

 

pigreco * [1 -  rad(3)/3] * x - 2/x^2 = 0;

moltiplichiamo per x^2;

 x^3 pigreco * [3 - rad(3)] /3  - 2 = 0;

 

x^3 = 2 / [pigreco * (3 - rad(3) )/3 ];

x^3 = 2 * 3 / [pigreco * (3 - rad(3) )];

Moltiplichiamo sopra e sotto per 3 + rad(3)

x^3 =  [1 / pigreco] * [ 6 * (3 + rad(3)]  / [(3 - rad(3)) * (3 + rad(3)] ;

(3 - rad(3)) * (3 + rad(3) = 9 - 3 = 6;

x^3 = [1 / pigreco] * [ 6 * (3 + rad(3)]  / 6;

x^3 = [1 / pigreco] * [3 + rad(3)] ;

x = radcubica [(3 + rad(3) / pigreco] ;

mi ero persa, ma ce l'ho fatta;

per il valore x = radice cubica [(3 + rad(3) / pigreco], la derivata prima si annulla; l'area laterale diventa minima. Speriamo sia un punto di minimo.

Bisogna studiare la funzione area laterale solido  A(x) = 16/x + 4 pigreco x^2 * [1 -  rad(3)/3];

La sua derivata:

A'(x) = - 2/x^2 + pigreco * [1 -  rad(3)/3] x;

chiamiamo k =  pigreco * [1 -  rad(3)/3]

A'(x) = - 2/ x^2 + k x;

A'(x) < 0 per x < radcubica [(3 + rad(3) / pigreco]; A(x) decrescente;

A'(x) > 0 per x > radcubica [(3 + rad(3) / pigreco] ;  A(x) crescente;

anche @stefanopescetto dice di sì, è un minimo.

Ciao @luigi2

 

 

@luigi2

 

Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2; volume, cm^3.
Un cilindro con raggio di base r e altezza h ha volume V0 = π*h*r^2
Un cono con raggio di base r e altezza (√3)*r ha volume V1 = π*r^2/√3
Il solido descritto ha volume V = V0 + 2*V1 = π*(h + 2/√3)*r^2 = 8
da cui
* h = 8/(π*r^2) - 2/√3
* V0 = 8 - 2*π*r^2/√3
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La superficie da minimizzare è, con simboli analoghi a quelli dei volumi,
* S(r) = S0 + 2*S1 = 2*π*h*r + 2*π*r*2*r = 4*π*r^2 - 4*π*r/√3 + 16/r
da cui
* S'(r) = 4*(2*π*r - 4/r^2 - π/√3)
* S''(r) = 8*(4/r^3 + π)
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La condizione di minimo, con la restrizione geometrica, è
* (S'(r) = 0) & (S''(r) > 0) & (r > 0)
che non mi azzardo ad affrontare.