[Risolto] Solidi di rotazione

Il solido generato da AED è un cono di raggio AE e altezza AD, quindi:

$V_{AED} = \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi AE^2 \cdot AD}{3} = \frac{16 \pi AE^2}{3} cm^3$

 

Il solido ottenuto dalla rotazione di BCDE attorno ad AD  lo possiamo calcolare per sottrazione: considera il cilindro di altezza BC e raggio di base AB sormontato dal cono di altezza DH e raggio CH (vedi figura), da cui eliminiamo il cono precedentemente calcolato generato da AED

Quindi il volume dei due solidi è:

$V_{cil} = \pi r^2 h = \pi AB^2 \cdot BC = AB^2 \pi cm^3$

$V_{cono}= frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi CH^2 HD}{3} = \frac{15 AB^2 \pi}{3}= 5 AB^2 \pi cm^3$

dove ho tenuto conto che CH=AB e che HD=AD-BC=16-1=15 cm.

Dunque

$V_{BCDE}= V_{cil}+V_{cono}-V_{AED} = AB^2 \pi + 5AB^2 \pi - \frac{16 \pi AE^2}{3}= 6AB^2 \pi - \frac{16 \pi AE^2}{3}$

 

Poiché sappiamo che le due figure sono equivalenti, possiamo dire che:

$\frac{16 \pi AE^2}{3} = 6AB^2 \pi - \frac{16 \pi AE^2}{3}$

Da cui

$\frac{16 \pi AE^2}{3} + \frac{16 \pi AE^2}{3} = 6AB^2 \pi$

$\frac{32\pi AE^2}{3} = 6AB^2 \pi$

Per comodità facciamo il minimo comune multiplo e semplifichiamo il $\pi$:

$32 AE^2 = 18 AB^2$

$16 AE^2 = 9 AB ^2$

E dato che tutti i segmenti sono sicuramente positivi, possiamo fare la radice ad entrambi i membri:

$4 AE = 3AB$

 

Noi inoltre sappiamo che:

$AE - BE = 4$

Nota che BE può essere scritto come AB-AE, da cui:

$AE - (AB-AE) = 4$

$2AE - AB = 4$

 

Possiamo mettere a sistema le due equazioni trovate:

{$4AE = 3AB$

{$2AE-AB=4$

Dalla seconda isoliamo AB, che sostituiamo nella prima:

{$4AE = 3(2AE-4)

{$AB = 2AE - 4

Dalla prima abbiamo che:

$4AE = 6 AE -12$

$-2AE = -12$

$AE=6$

Dunque

$AB=2AE-4 = 12-4 = 8$

 

A questo punto è semplice.

Conoscendo AB possiamo trovare il lato obliquo con Pitagora:

$CD = \sqrt{HD^2+AB^2} = \sqrt{15^2+8^2} = 17 cm$

Quindi

$p=AB+BC+CD+DA = 8+1+17+16 = 42 cm$

$A=\frac{(AD+BC)AB}{2} = \frac{(16+1) 17}{2} = 144.5 $

 

Noemi

 

A