[Risolto] Solidi

un solido è  costituito da un prisma retto a base rombica e da una piramide retta avente la base coincidente con quella del prisma. Calcola l'area totale e il volume del solido, sapendo che: 

A. L'area A e la diagonale d1 del rombo sono 600 cm2 e 40 cm

B.  l'altezza della piramide è 8/7 di quella del prisma e la loro differenza misura 2 cm  (risposta 3.000cm2 e 11.600 cm3) 

Rombo di base  

Il problema è di per se banale se non fosse per la difficoltà di calcolare l'apotema della piramide per il cui calcolo mi avvalgo della vista in pianta del rombo (foto in alto a sinistra).

L'apotema a (mostrata sul solido) si calcola applicando Pitagora tra altezza h' e raggio OR del cerchio  inscritto ....ma andiamo con ordine :

diagonale d2 = 2A/d1 = 600*2/40 = 120/4 = 30 cm 

lato CD = L = √((d1)/2)^2+((d2)/2)^2 = √20^2+15^2 = 25 cm 

raggio r = (d1)/2*(d2)/2 / lato CD = 20*15/25 = 20*3/5 = 12 cm 

Solido 

h'/h = 8/7

h'-h = 2 

8h/7-h = 2 

h/7 = 2

h = 14

h' = 16 

apotema a = √h'^2+r^2 = √16^2+12^2 = 20 cm 

superficie laterale piramide Alpi = 2L*a = 2*25*20 = 1.000 cm^2

superficie totale prisma Apr = A+4L*h = 600+100*14 = 2.000 cm^2

superficie totale solido As = Alpi+Apr = 1.000+2.000 = 3.000 cm^2

volume V = A*(h+h'/3) = 600*(14+16/3) = 11.600 cm^3 

Α = 600 cm^2= base rombica

d = 40 cm lunghezza nota di una diagonale

Con formula inversa l'altra diagonale x:

Α = 1/2·d·x-----> x = 2·Α/d

x = 2·600/40 = 30 cm

Determinazione altezze dei due solidi:

8/7----> 8 - 7 = 1

H = 2/1·8 = 16 cm altezza piramide

h = 2/1·7 = 14 cm altezza prisma

l = spigolo di base= √((30/2)^2 + (40/2)^2)

l = 25 cm

perimetro di base=2·p = 25·4  = 100 cm

Determino r= raggio della circonferenza inscritta nella base rombica

600 = 1/2·100·r------> r = 12 cm

quindi:

a = apotema laterale = √(16^2 + 12^2)-----> a = 20 cm

S =  superficie del solido=600 + 100·14 + 1/2·100·20 

S = 3000 cm^2

V = volume solido= 600·14 + 1/3·600·16

V = 11600 cm^3