SNS 2023 Matematica Es. 2.

A mio parere, il PDF originale contiene un’imprecisione logica nel definire l’insieme dei “casi speciali”, dopo l'espressione "Per i pedanti"
Riassumo il perché della mia obiezione e come correggere il PDF:

Quando il discriminante è nullo?
Dalla soluzione si ricava che si ha una soluzione singola (invece di due) per un certo
k se il discriminante è zero:
5a^2 - 4aπk = 0 --> k = 5a/4π

La condizione di “interezza”
Perché questo caso si verifichi effettivamente, quel valore di k deve essere un numero intero.
Quindi dobbiamo avere: 5a/4π = n
Risolvendo rispetto ad a, otteniamo la condizione generale per i casi speciali: a = 4π/5n
Confronto tra le condizioni
La condizione indicata nel PDF è a = 4πn. Questa condizione è troppo restrittiva. Copre solo i casi in cui n è un multiplo di 5. Ad esempio, se n=5, allora a = 4π. Ma cosa succede se n=1? Se n=1, allora a = 4π/5. In questo caso
k = 5(4π/5)/4π = 1. Anche k=1 è un intero, il discriminante è zero, e abbiamo una soluzione singola. Il PDF ignora questo caso.

a = 4πn è un caso particolare corretto, ma non esaurisce tutti i casi possibili.
La condizione corretta e completa è a = 4π/5n. Qualsiasi a che sia un multiplo di 4π/5 produrrà un valore di k intero che annulla il discriminante.

In definitiva, se dovesi scrivere la soluzione perfetta userei la condizione:

N(a) = ... se a diverso da 4πn/5

N(a) = ... se a= 4πn/5

In una prova di ammissione (come quello della SNS) la soluzione proposta nel pdf è, a mio modesto parere la preferibile. I commissari della Scuola Normale Superiore apprezzano molto il rigore algebrico e la capacità di discutere i casi limite (il parametro a che rende il discriminante nullo). La formula finale con la parte intera è il modo più elegante e professionale di presentare la risposta. La soluzione del PDF usa l’algebra delle equazioni di secondo grado e le proprietà delle radici (somma e prodotto). : È estremamente rigoroso e “automatico”. Una volta scritta l’equazione
as^2 - as + (kπ - a) = 0, la discussione del discriminante (Δ) e delle relazioni di Viète s(1)+s(2)=1 non lascia spazio a dubbi. È superiore nel gestire i casi “critici” (come quando il discriminante è zero). La distinzione finale “per i pedanti”(a parte quella che io ritengo sia una imprecisione di stampa) è un tocco di classe matematico che serve a gestire il fatto che se la parabola viene toccata esattamente sul vertice, la soluzione è unica.
A mio pare la soluzione del PDF è la modalità migliore e serve a “dimostrarla” senza falle.
In alternativa si potrebbe utilizzare un metodo, meno rigoroso, "più visivo".
Partendo dal fatto che
sin(θ) = 0 quando l’argomento θ è un multiplo intero di π. Quindi --> a(sinx+co^2sx)=kπ --> (sinx+co^2sx)=kπ/a . Usando l'identità trigonometrica fondamentale per scrivere il cos^2x in funzione di sinx avremmo f(x) =sinx +1-sin^2x, ponendo sinx=t avremmo g(t)=-t^2-t+1 con t appartenente all'intervallo [0; 1]. Troviamo il valore massimo e minimo della parabola in tale intervallo
g(0)=1 g(1) =1 vertice in t=1/2 con g(1/2) =5/4

Quindi, per ogni x in [0, π/2], il valore di f(x) appartiene all’intervallo [1, 5/4].

Notiamo che:

Se f(x) = 1, abbiamo due soluzioni per x (x=0 e x=π/2), che corrispondono a t=0 e t=1.
Se 1 < f(x) < 5/4, abbiamo due soluzioni per t (una tra 0 e 1/2 e una tra 1/2 e 1), e poiché
sinx è monotona in
[0, π/2], questo corrisponde a due soluzioni per x.
Se f(x) = 5/4, abbiamo una sola soluzione (t=1/2, quindi x=π/6).

Dobbiamo contare quanti valori di k rendono l’equazione
kπ/a = f(x) possibile, ovvero: 1≤ kπ/a ≤ 5/4
Moltiplicando per a/π a/π≤ k≤ 5a/4π.
Il numero di soluzioni N(a) dipende da quanti interi
k cadono in questo intervallo e dal loro valore:

     continua

@gabo. Avevo frainteso. Pensavo che il pdf fosse il testo e la soluzione scaricati dal sito della Scuola Normale e Superiore di Pisa, non che  fosse la soluzione scritta da te. Pensandoci bene  non riuscivo a capacitarmi come una Università di fama mondiale potesse aver pubblicato un testo con un errore di scrittura. Ora mi si è palesato l'arcano. Comunque il tuo approccio algebrico è l'optimum per affrontare questo tipo di problema. Bravo!