[Risolto] Sistemi lineari

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Metodo di riduzione:

$\small \begin{Bmatrix}(x-2)^2+\dfrac{y+4}{3}&=&(x-5)(x+1)+2y-x\\
\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{3}&=&2 \quad\color{red}(mcm=15)\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}x^2-4x+4+\dfrac{y+4}{3}&=&x^2\cancel{+x}-5x-5+2y\cancel{-x}\\
3x+5y&=&30\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}x^2-4x+4+\dfrac{y+4}{3}&=&x^2-5x-5+2y\\
3x+5y&=&30\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}\cancel{x^2}\cancel{-x^2}-4x+\dfrac{y+4}{3}+5x-2y&=&-5-4\\
3x+5y&=&30\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}x+\dfrac{y+4}{3}-2y&=&-9\\
3x+5y&=&30\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix} 3x+y+4-6y&=&-27\\
3x+5y&=&30\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix} 3x-5y &=&-27-4\\
3x+5y&=&30\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix} 3x-5y &=&-31\\
3x+5y&=&30\\
\end{Bmatrix}$

sommando membro a membro come segue puoi eliminare la "y" avendo stesso valore ma segno opposto:

$\small \begin{Bmatrix} 3x-5y &=&-31\\
3x+5y&=&30\\\hline
6x\quad//&=& -1
\end{Bmatrix}$

quindi:

$\small 6x=-1$

$\small \dfrac{\cancel6x}{\cancel6} = \dfrac{-1}{6}$

$\small x= -\dfrac{1}{6}$

ora sostituisci la "x" trovata in una delle equazioni, per esempio la 2°:

$\small 3x+5y=30$

$\small 3·\left(-\dfrac{1}{6}\right) +5y= 30$

$\small -\dfrac{\cancel3^1}{\cancel6_2} +5y = 30$

$\small -\dfrac{1}{2}+5y=30$

$\small -1+10y = 60$

$\small 10y=60+1$

$\small 10y = 61$

$\small \dfrac{\cancel{10}y}{\cancel{10}} = \dfrac{61}{10}$

$\small y = \dfrac{61}{10}$

risultati: $\small \left[x=-\dfrac{1}{6} \land y=\dfrac{61}{10}\right]$

Utilizzo il metodo di CONFRONTO, il sistema é 2 x 2

{ x^2 - 4x + 4 + (y+4)/3 = x^2 + x - 5x - 5 + 2y - x 

{ y/3 = 2 - x/5 

riduco x^2 - 4x nella prima e moltiplico il resto per 3 

{ 12 + y + 4 + 15 = 6y - 3x 

{ y = 6 - 3/5 x 

{ 6y - y = 3x + 31 

{ y = 6 - 3/5 x 

{ y = 3/5 x + 31/5 

{ y = 6 - 3/5 x 

Confronto 

3/5 x + 31/5 = - 3/5 x + 6 

3x + 3x = 30 - 31 

6x = -1 

x = -1/6 

e y = 6 - 3/5 *(-1/6) = 6 + 1/10 = 61/10.

MATHGPT dice che é corretto.