[Risolto] Sistemi letterali.

• Matrice coefficienti 

$ A = \begin{pmatrix} 1&3 \\ 1&-1 \end{pmatrix} $

• Matrice completa

$ A' = \begin{pmatrix} 1&3&| &a \\ 1&-1&|& 2a-3 \end{pmatrix} $

• Rango della matrice dei coefficienti. r(A) = 2
• Rango matrice completa. r(A') = 2  (nota, r(A') ≤ 2 e nel contempo r(A') ≥ r(A) )
• r(A) = r(A') allora il sistema è possibile (teorema di Rouché Capelli)
• detA = -4 ≠ 0. In tal caso il sistema è determinato. Essendo lineare ammetterà una e una sola soluzione indipendentemente dal valore attribuito ad a. 

Se non possiamo usare Cramer possiamo usare un altro metodo per arrivare al risultato.

In un esercizio precedente ho detto che conviene usare il metodo di Gauss (riduzione). Tale metodo ci permette di dare tutte le risposte con il minimo dei calcoli.

$ \left\{\begin{aligned} x+3y &= a \\ x-y &= 2a-3 \end{aligned} \right. $

(1°-2° → 1°)

$ \left\{\begin{aligned} 4y &= 3-a \\ x-y &= 2a-3 \end{aligned} \right. $

dalla prima $ y = \frac{3-a}{4} $

di seguito  dalla seconda $ x = \frac{7a-9}{4} $

soluzioni valide ∀a∈ℝ.

Gauss ci da un'unica soluzione ∀a∈ℝ quindi il sistema è:

• possibile
• determinato.