[Risolto] Sistemi esponenziali

Grazie dell'augurio, la mia è stata ottima non solo perché ho dormito senza interruzioni da mezzanotte e dieci alle otto e trentacinque, ma soprattutto perché anche oggi mi sono svegliato!
Sorvolo sul tuo modo di descrivere le espressioni anziché scriverle e passo ai calcoli, che spero non inutili "quando poi magari".
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A) 2^x minore 7^(x+1)/ 2 nel secondo membro si intende 7^(x+1) TUTTO diviso 2 Risposta x maggiore di - 1
* 2^x < 7^(x + 1)/2 ≡
≡ 2^x < (7/2)*7^x ≡
≡ 2^x/7^x < 7/2 ≡
≡ (2/7)^x < (2/7)^(- 1) ≡
≡ x < - 1
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B) 7^(2)^sqrt (2x)^(2-x)/ sqrt 9^x - 10 * 3^x + 9 maggiore o uguale a 0 Risposta : x minore di 0 oppure x maggiore di 2. Si intende: al numeratore TUTTO fino al segno / e al denominatore tutto il resto.
* (7^(2)^sqrt (2x)^(2-x))/(sqrt 9^x - 10 * 3^x + 9) >= 0 ≡
≡ (7^(2^(√(2*x)^(2 - x))))/(√(3^(2*x)) - 10*3^x + 9) >= 0 ≡
≡ (7^((2*x)^(1 - x/2)))/(3^x - 10*3^x + 9) >= 0 ≡
≡ (7^((2*x)^(1 - x/2)))/(9*(3^x - 1)) <= 0 ≡
≡ (7^((2*x)^(1 - x/2)))/(3^x - 1) < 0
La presenza della diseguaglianza d'ordine impone che il primo membro sia non solo ben definito, ma anche reale; cioè che si abbia
* (x > 0) oppure (x < 0) & (x = - 2*n) & (n naturale)
quindi che, se x è negativo, il primo membro sia una funzione razionale di variabile intera positiva
* (7^((- 4*n)^(1 + n)))/(3^(- 2*n) - 1) < 0 ≡
≡ (7^((- 4*n)^(1 + n)))/(1/9^n - 1) < 0 ≡
≡ 9^n > 1 ≡
≡ per ogni x intero pari negativo (il che limita assai il risultato atteso x < 0).
Se invece x è positivo, si ha
* (x > 0) & ((7^((2*x)^(1 - x/2)))/(3^x - 1) < 0) ≡
≡ (x > 0) & ((7^((2*x)^(1 - x/2)) < 0) & (3^x - 1 < 0) oppure (7^((2*x)^(1 - x/2)) > 0) & (3^x - 1 > 0)) ≡
≡ (x > 0) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) < 0) & (3^x - 1 < 0)
oppure
≡ (x > 0) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) > 0) & (3^x - 1 > 0)
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* (x > 0) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) < 0) & (3^x - 1 < 0) ≡
≡ (x > 0) & (3^x < 1) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) < 0) ≡
≡ (x > 0) & (x < 0) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) < 0) ≡
≡ (insieme vuoto) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) < 0) ≡
≡ nessun x può soddisfare alla condizione.
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* (x > 0) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) > 0) & (3^x - 1 > 0) ≡
≡ (x > 0) & (3^x > 1) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) > 0) ≡
≡ (x > 0) & (x > 0) & (7^((2*x)^(1 - x/2)) > 0) ≡
≡ (x > 0) & (x > 0) ≡
≡ x > 0
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RISULTATO
* (7^(2)^sqrt (2x)^(2-x))/(sqrt 9^x - 10 * 3^x + 9) >= 0 ≡
≡ (x intero pari negativo) oppure (x > 0)
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CONCLUSIONE
La stitichezza parentetica e/o operatoria genera espressioni equivoche.

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AGGIUNTA @Beppe dopo aver visto le altre risposte.
Caro Beppe,
sono contento di vedere che hai accettato il mio consiglio sull'uso dei simboli standard di funzione invece di inventarne di tuoi, ma mi duole che tu insista a respingere la delimitazione delle subespressioni caricando ai responsori l'onere della divinazione.
Eppure sono regolette da quattro soldi e comportano l'uso delle sole parentesi tonde.
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0a) Lo spazio non ha valore sintattico.
0b) Una coppia di parentesi superflua non ha valore sintattico.
Inserire o sopprimere spazii e/o parentesi superflue non muta il significato.
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1) L'operatore prefisso agisce SOLO sull'elemento (o subespressione) successivo
* "sqrt 9^x - 10 * 3^x + 9" ≡ (√9)^x - 10*3^x + 9
* "sqrt(9^x) - 10 * 3^x + 9" ≡ √(9^x) - 10*3^x + 9
* "sqrt(9^x - 10) * 3^x + 9" ≡ √(9^x - 10)*3^x + 9
* "sqrt(9^x - 10 * 3^x + 9)" ≡ √(9^x - 10*3^x + 9)
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2) L'operatore infisso agisce SOLO sui due elementi (o subespressioni) adiacenti secondo la scala di precedenza (segno meno; potenze e radici; prodotti e rapporti; somme e differenze)
* "sqrt 9^x - 10 * 3^x + 9" ≡ (√9)^x - 10*3^x + 9
* "sqrt(9^x - 10) * 3^x + 9" ≡ √(9^x - 10)*3^x + 9
* "sqrt(9^x - 10) * (3^x + 9)" ≡ √(9^x - 10)*(3^x + 9)
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ESEMPI
A) potenza: (tutta la base)^(tutto l'esponente)
B) radice d'indice n intero: (tutta la base)^(1/n)
C) prodotto: (tutto il moltiplicando)*(tutto il moltiplicatore)
D) rapporto: (tutto il dividendo)*(tutto il divisore)
E) funzione: simbolo(elenco degli argomenti, separati da virgole)
E1) √(espressione)
E2) MCD(a, b)
E3) mcm(p, q, r, s)
E4) log(base, argomento)
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3) Quando sei in dubbio se serva o no racchiudere qualcosa fra parentesi, METTILE!
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Spero che vorrai farti un promemoria di queste tre regolette, attaccarlo di fronte al computer e APPLICARLO; così eviterai ogni caso di "quando poi magari".

2^x < 7^(x+1)/2

Scritto così é semplice :

2^x * 2 < 7^(x+1)

2^(x+1) < 7^(x+1)

(2/7)^(x+1) < 1

ed essendo 2/7 < 1

(2/7)^(x+1) < (2/7)^0 diventa

x + 1 > 0

x > -1

l'altro

N(x) / sqrt [ 3^(2x) - 10*3^x + 9 ] > 0

Deve essere ( pongo u = 3^x, u > 0 )

u^2 - 10 u + 9 > 0

u^2 - 9u - u + 9 > 0

u(u - 9) - (u - 9 ) > 0

(u - 1)(u - 9) > 0

u < 1 V u > 9

3^x < 1 => 3^x < 3^0 => x < 0

3^x > 9 => 3^x > 3^2 => x > 2

Con questo il denominatore, per la convenzione sui radicali,
é sempre positivo.

Sul numeratore non ho capito in quale modo gli esponenziali
sono innestati l'uno dentro l'altro ( detto terra - terra
"come si scriverebbe a mano" ) ma ai fini della soluzione si
direbbe inessenziale essendo il numeratore sempre positivo.

 

Ho tuttavia un dubbio : se x non é maggiore di 0 

sqrt(2x) non esiste in R. Quindi si dovrebbe scartaure x < 0

oppure non mi é chiaro qualcosa nella traccia.

@beppe

Ciao di nuovo

2^x < 7^(x + 1)/2

2^x - 7^(x + 1)/2 < 0

(2^(x + 1) - 7^(x + 1))/2 < 0

7^(x + 1) - 2^(x + 1) > 0

7^(x + 1) > 2^(x + 1)

vedi grafico delle due funzioni sotto:

si verifica per x>-1

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7^2^√(2·x)^(2 - x)/√(9^x - 10·3^x + 9) ≥ 0

Il denominatore ha una radice quadrata: deve essere:

9^x - 10·3^x + 9 > 0

che si verifica per: x < 0 ∨ x > 2

Siccome il numeratore è sempre positivo , l'unica soluzione possibile è data sopra in grassetto.

@Beppe 

Ciao Beppe, 

Ok la prima equazione del sistema.

2^(x)*2 < 7^(x+1)

2^(x+1) < 7^(x+1)

(x+1)>0  ==> x> - 1

 

Non mi torna la soluzione della seconda equazione.

A numeratore della frazione è presente radice(2x), che non è definita in R/ { x<0 }.

Quindi a mio avviso, la soluzione della seconda equazione è data dal sistema:

{x >= 0

{3^(2x) - 10* 3^(x) + 9 > 0

 

Posto: 3^(x)= t

{x >= 0

{t² - 10t + 9 > 0  ==> t < 1 v  t > 9

Quindi:

{x > = 0

{3^(x) < 1 v 3^(x) > 9  ==> x < 0 v x > 2

 

Dall'intersezione delle due condizioni otteniamo: x>2