Due cerchi di raggio r sono tali che la distanza fra i loro centri è congruente al raggio. Determina i lati di un rettangolo il cui perimetro misura $\frac{18}{5} r$, inscritto nella parte comune ai due cerchi.
$$
\left[\frac{6}{5} r e \frac{3}{5} r \text { oppure } \frac{8}{5} r e \frac{r}{5}\right]
$$
grazie mille
129
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Livello 1
Mi metto in una posizione opportuna: Considero quindi 2 circonferenze come in figura con r = 5.
Considero la circonferenza a sinistra, essa ha equazione:
(x + 5/2)^2 + y^2 = 25
Il punto P in figura sta su tale circonferenza, per esso abbiamo:
{x > 0
{y > 0
Risolvo quindi l'equazione della circonferenza in y ottenendo due semicirconferenze:
y = - √(- 4·x^2 - 20·x + 75)/2 ∨ y = √(- 4·x^2 - 20·x + 75)/2
y = √(- 4·x^2 - 20·x + 75)/2 (scelta obbligata per P)
Il rettangolo ha quindi dimensioni:
ΡΡ' = 2·x
ΡΡ'''= 2·y
Quindi con r=5 dovrà risultare:
18 = 2·(2·x + √(- 4·x^2 - 20·x + 75))
quindi si tratta di risolvere un equazione irrazionale. Se la risolvi ottieni:
x = 3/2 ∨ x = 1/2
Per
x = 3/2----> y = √(- 4·(3/2)^2 - 20·(3/2) + 75)/2 = 3
x = 1/2---> y = √(- 4·(1/2)^2 - 20·(1/2) + 75)/2 = 4
Quindi dimensioni del rettangolo pari a quelle date nel testo (il calcolo lo lasci a te)
115470
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Genius III
