[Risolto] Sistemi di II grado

@aurora_lecchi

Ciao di nuovo.

{x/(x^2 - x·y) + y/(x^2 - y^2) = - 1/(x^2 + x·y)

{y = - 2·x + 2

Bisogna portare alla forma intera la prima equazione

C.E.

x^2 - x·y ≠ 0------> x - y ≠ 0 ∧ x ≠ 0 

x^2 - y^2 ≠ 0------> y ≠ -x ∧ y ≠ x

x^2 + x·y ≠ 0--------> x ≠ -y ∧ x ≠ 0

quindi moltiplichiamo la prima per il mcm dei denominatori:  x·(x + y)·(x - y)

{x·(x + y) + x·y + (x - y) = 0

{y = - 2·x + 2

Risolvo con la sostituzione:

x·(x + (- 2·x + 2)) + x·(- 2·x + 2) + (x - (- 2·x + 2)) = 0

x·(2 - x) + x·(- 2·x + 2) + (3·x - 2) = 0

(2·x - x^2) + (2·x - 2·x^2) + (3·x - 2) = 0

- 3·x^2 + 7·x - 2 = 0

3·x^2 - 7·x + 2 = 0

Risolvo ed ottengo: x = 1/3 ∨ x = 2

Per x=1/3:

y = - 2·(1/3) + 2-------> y = 4/3  (coppia ordinata di valori (x,y) accettabile)

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Per x=2

y = - 2·2 + 2----------> y = -2  (coppia ordinata di valori (x,y) NON accettabile risultando y=-x)

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Quindi soluzione del sistema dato è: [x = 1/3 ∧ y = 4/3]

 

@Aurora_Lecchi

A secondo membro hai un meno davanti alla riga di frazione. Quindi devi scrivere - x+y

Sostituendo i valori x=2 e x=1/3 nella seconda equazione possiamo trovare i corrispondenti valori di y 

 

Ciao anche a te, Aurora!
Vedo ora (8 marzo 2022, 12h 09') la tua domanda di ieri pomeriggio e le due ottime risposte nel merito dello specifico esercizio 612.
Io, e spero di non seccarti, vorrei affrontare la cosa da un altro punto di vista partendo dalla frase "non capisco ... è la terza volta che lo rifaccio!".
Ovviamente se per capire devi rifare vuol dire che affronti il problema per tentativi, a intuito; ma questo è un metodo che va bene quando s'è acquisita abbastanza esperienza da riconoscere a colpo d'occhio la via più economica: metodo da persone esperte. Da principiante, se svolgere esercizi serve proprio a coltivare quell'esperienza, conviene invece attenersi a metodi pedissequi che siano saldamente e strettamente ancorati ai significati costituenti l'argomento su cui ci si esercita.
Si scrive un bel po' di più che andando a intuito, ma quasi sempre una volta sola.
Sull'argomento «Sistemi di secondo grado» io ti consiglio di tenere sott'occhio un promemoria come il seguente.
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SISTEMI DI SECONDO GRADO
A) n variabili presenti in
* m - 1 equazioni di primo grado
* una equazione di secondo grado
B1) dalla parte lineare si esplicitano m - 1 variabili
B2) l'equazione di secondo grado si riduce alla forma "funzione = 0"
C) si forma la risolvente del sistema sostituendo nella "funzione = 0" le espressioni delle m - 1 variabili esplicitate, soggetta alle eventuali condizioni d'esistenza.
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NEL CASO IN ESAME m = n = 2
Sistema
612) (x/(x^2 - x*y) + y/(x^2 - y^2) = - 1/(x^2 + x*y)) & (y = - 2*x + 2) ≡
≡ (y = 2*(1 - x)) & (x/(x*(x - y)) + y/((x + y)*(x - y)) + 1/(x*(x + y)) = 0) ≡
≡ (y = 2*(1 - x)) & ((x^2 + 2*x*y + x - y)/(x*(x + y)*(x - y)) = 0) ≡
≡ (y = 2*(1 - x)) & (x^2 + 2*x*y + x - y = 0) & (x != 0) & (x^2 != y^2)
Risolvente
* (x^2 + 2*x*2*(1 - x) + x - 2*(1 - x) = 0) & (x != 0) & (x^2 != y^2) ≡
≡ (- 3*x^2 + 7*x - 2 = 0) & (x != 0) & (x^2 != y^2) ≡
≡ (x^2 - (7/3)*x + 2/3 = 0) & (x != 0) & (x^2 != y^2) ≡
≡ ((x - 1/3)*(x - 2) = 0) & (x != 0) & (x^2 != y^2) ≡
≡ ((x = 1/3) oppure (x = 2)) & (x^2 != y^2)
Soluzione
* ((x = 1/3) oppure (x = 2)) & (y = 2*(1 - x)) & (x^2 != y^2) ≡
≡ ((x = 1/3) & (y = 2*(1 - x)) oppure (x = 2) & (y = 2*(1 - x))) & (x^2 != y^2) ≡
≡ ((x = 1/3) & (y = 4/3) oppure (x = 2) & (y = - 2)) & (x^2 != y^2) ≡
≡ (x = 1/3) & (y = 4/3)
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CONTROPROVA nel paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%2F%28x%5E2-x*y%29--y%2F%28x%5E2-y%5E2%29%3D-1%2F%28x%5E2--x*y%29%29%26%28y%3D-2*x--2%29