sistemi di equazioni

{ x^2 + y^2 = a^2 + b^2

{ ax - by = 0

posto b =/= 0 dalla seconda

y = a/b x

e sostituendo nella prima

x^2 + a^2/b^2 x^2 = a^2 + b^2

(b^2 + a^2) x^2 = b^2(a^2 + b^2)

ed essendo b=/= 0 per ipotesi

a^2 + b^2 é diverso da 0

x^2 = b^2

x = +- b

e y = a/b *(+- b) = +-a

e ci sono quindi le soluzioni

(b, a) e (-b, -a)

Se invece b = 0

{ x^2 + y^2 = a^2

{ ax = 0

se a = 0 allora x é qualsiasi e

x^2 + y^2 = 0 per cui in realtà (x,y) = (0,0)

se a =/= 0

x = 0

y^2 = a^2

y = +-a

e ci sono le soluzioni (0, -a) e (0, a)

 

già trovata precedentemente perché coincide con 

 

(-b, -a),   (b, a)   quando b = 0.

Il sistema di secondo grado
* (a*x - b*y = 0) & (x^2 + y^2 = a^2 + b^2)
ha, in entrambe le equazioni, due parametri che possono essere zero indipendentemente l'uno dall'altro; perciò lo si deve risolvere sotto quattro diverse ipotesi.
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0) (a = 0) & (b = 0) & (a*x - b*y = 0) & (x^2 + y^2 = a^2 + b^2) ≡
≡ (0 = 0) & (x^2 + y^2 = 0) ≡ (x = 0) & (y = 0)
Un solo punto nell'origine.
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1) (a = 0) & (b != 0) & (a*x - b*y = 0) & (x^2 + y^2 = a^2 + b^2) ≡
≡ (b != 0) & (b*y = 0) & (x^2 + y^2 = b^2) ≡
≡ (b != 0) & (y = 0) & (x^2 = b^2) ≡
≡ (x = ± b) & (y = 0)
Due punti sull'asse x, simmetrici rispetto all'origine.
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2) (a != 0) & (b = 0) & (a*x - b*y = 0) & (x^2 + y^2 = a^2 + b^2) ≡
≡ (a != 0) & (a*x = 0) & (x^2 + y^2 = a^2) ≡
≡ (a != 0) & (x = 0) & (y^2 = a^2) ≡
≡ (x = 0) & (y = ± a)
Due punti sull'asse y, simmetrici rispetto all'origine.
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3) (a != 0) & (b != 0) & (a*x - b*y = 0) & (x^2 + y^2 = a^2 + b^2) ≡
≡ (a != 0) & (b != 0) & (y = (a/b)*x) & (x^2 + ((a/b)*x)^2 = a^2 + b^2) ≡
≡ (a != 0) & (b != 0) & (y = (a/b)*x) & (x = ± b) ≡
≡ (x = - b) & (y = - a) oppure (x = b) & (y = a)
Due punti sulla retta y = (a/b)*x, simmetrici rispetto all'origine.