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Livello 1
Ciao.
Per il momento ti invio il grafico relativo al problema proposto.
Oggi esco. Se mi ricorderò ti risponderò (forse) nel pomeriggio.
Ciao riprendo.
{x^2 + y^2 - 6·x - 4·y = 0
{(k + 1)·x + 8·k·y - 6·k + 2 = 0
{x > 0
{y ≤ 4
Abbiamo una circonferenza passante per E(0,0) facilmente tracciabile con centro in O(3,2) ( vedi figura allegata)
Abbiamo un fascio di rette proprio passanti da A(-2,1) determinabile assegnando valori opportuni di k:
{(0 + 1)·x + 8·0·y - 6·0 + 2 = 0
{(1 + 1)·x + 8·1·y - 6·1 + 2 = 0
(k=0 e k=1)
risolvendo otteniamo:
{x + 2 = 0
{2·x + 8·y - 4 = 0
da cui:[x = -2 ∧ y = 1]----> A(-2,1) centro del fascio
Determiniamo la polare con le formule di sdoppiamento con riferimento ad A:
- 2·x + 1·y - 6·(x - 2)/2 - 4·(y + 1)/2 = 0
- 5·x - y + 4 = 0
Quindi i punti di tangenza C e B (vedi figura)
{x^2 + y^2 - 6·x - 4·y = 0
{- 5·x - y + 4 = 0
risolvo: [x = 0 ∧ y = 4, x = 1 ∧ y = -1]
B(0,4) che non considero per la condizione x>0
e C(1,-1) in cui si hanno due soluzioni coincidenti.
Quindi seguo le indicazioni riportate in figura partendo da C:
(k + 1)·x + 8·k·y - 6·k + 2 = 0----> (k + 1)·1 + 8·k·(-1) - 6·k + 2 = 0
in C si ha: k = 3/13
poi vediamo l'altro estremo: F che non consideriamo:
[0, 0]: la retta del fascio deve passare per E
(k + 1)·0 + 8·k·0 - 6·k + 2 = 0----> 2 - 6·k = 0----> k = 1/3
3/13 ≤ k < 1/3
si hanno due soluzioni
Da F compreso a K compreso si ha una sola soluzione (una sola intersezione). Punto finale che lascio a te.
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Genius II
Approfondimento della risposta precedente.
Per determinare gli intervalli di k devi considerare il coefficiente angolare m che si deduce dall'equazione del fascio:
(k + 1)·x + 8·k·y - 6·k + 2 = 0------> y = (3·k - 1)/(4·k) - x·(k + 1)/(8·k)
m = - (k + 1)/(8·k)
Quindi dal grafico ottieni:
- 2/3 ≤ m < - 1/2-----> - 2/3 ≤ - (k + 1)/(8·k) < - 1/2
che risolta fornisce: 3/13 ≤ k < 1/3 (2 soluzioni)
- 1/2 ≤ - (k + 1)/(8·k) ≤ 3/8------> k ≤ - 1/4 ∨ k ≥ 1/3 (1 sola soluzione)
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Genius II