[Risolto] Sistemi di disequazioni

Risolviamo indipendentemente le tre disequazioni. Di seguito intersecheremo tra loro i tre insiemi soluzioni.

i) $ \frac{5x+9}{x^2-4} + \frac{x+3}{x-2} +2 \le 0 $  

$ \frac{3x^2+10x+7}{x^2-4} \le 0 $

$ \frac{(x+1)(3x+7)}{x^2-4} \le 0 $

_____-7/3______-2_____-1_____2_____

------------------------------0+++++++++   x+1

---------0+++++++++++++++++++++   3x+7

+++++++++++X------------------X++++   x²-4

+++++0---------X+++++0--------X++++   diseq.

$ S_1 = [-7/3, -2) ∪ [-1, 2) $

ii)  $ \frac{(3x^2(x-4)(x+1)^3}{(3x^2-7x+4)(x^2+5} $ 

$ \frac{(3x^2(x-4)(x+1)^3}{(x-1)(3x-4)(x^2+5} $ 

Osserviamo che il termine (x²+5) è positivo per ogni valore di x quindi non influisce sul segno

____-1____0____1_____4/3______4______

+++++++0+++++++++++++++++++++   3x²

-----------------------------------------0+++++  x-4

------0+++++++++++++++++++++++++  (x+1)³

--------------------X+++++++++++++++++   x-1

------------------------------X+++++++++++   3x-4

+++0-----0-------X++++X-----------0+++++   diseq.

$ S_2 = (-∞, -1] ∪ {0} ∪ (1, 4/3) ∪ (4, +∞)

iii)   $ \frac{3}{x-5} \le 0 $

Numeratore positivo quindi deve essere x-5 < 0 ovvero x < 5.   (x = 5 non è accettabile)

$ S_3 = (-∞, 5)

Risultato.

$ S = S_1 ∩ S_2 ∩ S_3 = [-7/3, -2) ∪ {-1} ∪ {0} ∪ (1, 4/3)