Sistemi

$ \left\{\begin{align} 2x^2+2y^2 &=5 \\ 2x+2y&=3\sqrt{2} \end{align} \right. $

Osserviamo che il sistema è del tipo simmetrico. (il sistema rimane immutato se si scambiano tra di loro le variabili x e y=. Proponiamo due modi alternativi di risoluzione.

a.  Tradizionale 

per sostituzione. Dalla seconda

$ x = \frac{3\sqrt{2}-2y}{2} $

che introdotta nella prima

$\frac{(3\sqrt{2}-2y)^2}{2} +2y^2 = 5 $

$ 2y^2-3\sqrt{2}y+2 = 0 $

La cui due soluzioni sono:

1. $ y = \frac{1}{\sqrt{2}} \; ⇒ \; x = \sqrt{2} $
2. $ y = \sqrt{2} \; ⇒ \; x =  \frac{1}{\sqrt{2}}$

b. Soluzione tramite equazione di secondo grado.

Ricordiamo che anche le soluzioni saranno simmetriche, lo possiamo verificare con le soluzioni trovate in a. 

Riscriviamo il sistema completando il quadrato

$ \left\{\begin{align} 2(x+y)^2 -4xy &=5 \\ (x+y) &= \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{align} \right. $

sostituendo la seconda nella prima si ottiene

$ \left\{\begin{align} xy &=1 \\ (x+y) &= \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{align} \right. $

questo ci permette di impostare l'equazione di secondo grado equivalente, ovvero con le stesse radici

$ t^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} t +1 = 0 $

Le cui due soluzioni sono:

1. $t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} $
2. $t_2 = \sqrt{2} $

Abbiamo già detto che le soluzioni del sistema sono simmetriche, per cui

1. $ x = \frac{1}{\sqrt{2}} \; ⇒ \; y = \sqrt{2} $
2. $ x = \sqrt{2} \; ⇒ \; y =  \frac{1}{\sqrt{2}}$

come nel caso precedente.