Sistemi

@qwe

Ciao di nuovo.

Facciamo riferimento ad un sistema del tipo:

{ax+by+cz=d

{a'x+b'y+c'z=d'

{a''x+b''y+c''z=d''

quindi un sistema alla forma normale

Un sistema lineare 3*3 è determinato se ammette un'unica soluzione rappresentata da una terna ordinata di numeri reali.

Un sistema lineare 3*3 è indeterminato se ammette infinite soluzioni

Un sistema è impossibile se non ammette soluzioni

Come riconoscere un sistema se è determinato, indeterminato o impossibile è un altro paio di maniche!

ESEMPI:

{2·x + 3·y - z = 5

{x - 2·y + z = 0

{x + 3·y + 4·z = 19

Determinato unica soluzione: [x = 1 ∧ y = 2 ∧ z = 3]

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{2·x + 3·y - z = 5

{6·x + 9·y - 3·z = 15

{x + 3·y + 4·z = 19

Indeterminato: infinite soluzioni:[x = 5·z - 14 ∧ y = 11 - 3·z] 

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{2·x + 3·y - z = 5

{6·x + 9·y - 3·z = 15

{8·x + 12·y - 4·z = 20

Indeterminato: (infinite soluzioni)^2    [2·x + 3·y - z - 5 = 0]

----------------------------------------------------------------

{2·x + 3·y - z = 5

{6·x + 9·y - 3·z = 15

{8·x + 12·y - 4·z = 0

Impossibile: nessuna soluzione φ------> []

Per riconoscere devi vedere i coefficienti delle incognite ed i termini noti: se i coefficienti delle incognite ed i termini noti in una equazione sono combinazioni lineari delle precedenti allora è indeterminato, se ciò vale solo per i coefficienti delle incognite ma non per i termini noti, allora il sistema è impossibile.

se le equazioni sono linearmente dipendenti ( matrice dei coeff. di rango <3) il sistema è indet. o imposs. a seconda che la matrice completa abbia o no lo stesso rango della matrice dei coeff. {essendo la matrice completa 3x4 non può avere rango > 3!!!}

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Rouch%C3%A9-Capelli

quindi se il rango della matr.coeff =3   la soluz è unica. (ovv. esiste anche det diverso da zero)

se il rango della matr.coeff =2 e quella completa ha rango 3 il sist. è imposs.

{significa che nessuna equaz. si ottiene dalle altre due, ma i coeff. omonimi di una  si ottengono da quelli delle altre due}

se il rango della matr.coeff =1 e quella completa ha rango 1 il sist. è indet.

{significa che è una equaz. e le altre due sono lin.dip. soluz infinite alla seconda}

se il rango della matr.coeff =1 e quella completa ha rango 2 il sist. è imposs.

{significa che nessuna equaz. si ottiene dalle altre due, ma i coeff.omonimi di due  sono  in proporzione con l'altra }

Cara Qwe, dovresti curare un pochino il tuo italiano; quando parli di Matematica hai il dovere di fare discorsi non equivoci, né tantomeno falsi.
"Parlo di sistemi lineari" è FALSO; la tua domanda parla di "sistemi DI EQUAZIONI lineari": i "sistemi lineari" sono tutt'altra cosa: ad esempio, le reti elettriche composte di resistori, induttori, capacitori, fili e generatori.
"avevo solo una domanda" è EQUIVOCO; se ce l'avevi vuol dire che ora non ce l'hai più, e allora non avresti dovuto aprire questa discussione; oppure la domanda ce l'hai tutt'ora, e allora non avresti dovuto usare l'imperfetto.
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Finita la digressione vengo al tuo quesito dopo averlo un po' generalizzato
* «Quand'è che un sistema di m equazioni lineari in n variabili determinato, indeterminato, impossibile?»
Beh, visto che il lavoro di calcolo per applicare il Teorema di Rouché-Capelli
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Rouch%C3%A9-Capelli
a quel sistema è praticamente lo stesso che per risolverlo, ti rispondo in termini di risoluzione; per esempio con l'eliminazione di Gauss.
Se l'eliminazione arriva fino in fondo e si trova uno e un solo valore per ogni variabile, allora il sistema è determinato.
Se l'eliminazione si ferma per aver trovato una contraddizione (p.es. 5 = 3), allora il sistema è impossibile.
Se l'eliminazione si ferma per aver trovato una rica di tutti zeri, e quindi con ancora qualche variabile espressa in funzione delle altre anziché con un valore, allora il sistema è indeterminato, ha infinite soluzioni e quelle espressioni costituiscono l'algoritmo per generarle.