[Risolto] sistema parametrici su ellisse

Si svolgono calcolando le espressioni formali delle intersezioni fra la conica della prima equazione e il fascio di rette della seconda equazione; poi, alla luce della congiunzione di condizioni restrittive posta come terzo elemento del sistema, scrivendo la distinzione di casi in funzione del parametro del fascio (i casi da distinguere sono, se esistono: sistema indefinito, retta secante la conica, retta tangente la conica, retta esterna alla conica).
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Dal momento che hai pubblicato la tua prima domanda senza aver preventivamente preso visione del
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito, t'è sfuggito l'obbligo di proporre un solo esercizio per domanda.
Qui te ne mostro uno.
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Considero separatamente gli elementi del sistema
324) (x^2 + 4*y^2 = 9) & (k*y + x + 3 - k = 0) & (x <= 0) & (y >= 0)
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A) (x <= 0) & (y >= 0): interessa la situazione nel secondo quadrante, assi compresi.
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B) Γ ≡ x^2 + 4*y^2 = 9 ≡ (x/3)^2 + (y/(3/2))^2 = 1
la conica è un'ellisse riferita ai proprii assi coi vertici
* A(- 3, 0), D(0, 3/2)
che delimitano il quarto d'ellisse giacente nel secondo quadrante.
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C) r(k) ≡ k*y + x + 3 - k = 0
è il fascio proprio centrato in K(- 3, 1) e meglio descritto da
* r(k) ≡ (k = 0) & (x = - 3) oppure (k != 0) & (y = (k - 3)/k - x/k)
con pendenza
* m = - 1/k
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Poiché K ha pari ascissa del vertice A e ordinata compresa fra quelle di A e di D ci dev'essere, oltre alla r(0) tangente in A, una seconda tangente che si ricava dal sistema
* (y = (k - 3)/k - x/k) & ((x/3)^2 + (y/(3/2))^2 = 1)
imponendo che la risolvente
* (x/3)^2 + (((k - 3)/k - x/k)/(3/2))^2 - 1 = 0 ≡
≡ (k^2 + 4)*x^2 - 8*(k - 3)*x - (5*k^2 + 24*k - 36) = 0
abbia nullo il discriminante
* Δ(k) = 4*(5*k + 24)*k^3
cioè o per k = 0, già visto, oppure per k = - 24/5 da cui la seconda tangente.
* r(- 24/5) ≡ y = (5*x + 39)/24
di pendenza m = 5/24
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Sul grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2--4*y%5E2%3D9%2Cy%3D%285*x--39%29%2F24%2Cx%3D-3%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-2to2
si nota che:
* per m < 5/24 si ha k > - 24/5 ed r(k) secante Γ
* per m = 5/24 si ha k = - 24/5 ed r(k) tangente Γ
* per m > 5/24 si ha k < - 24/5 ed r(k) esterna a Γ
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La distinzione di casi che costituisce la soluzione del sistema risulta
* k < - 24/5: r(k) esterna a Γ
* k = - 24/5: r(k) tangente Γ
* - 24/5 < k < 0: r(k) secante Γ
* k = 0: r(k) tangente Γ
* k > 0: r(k) secante Γ