Si studi al variare dei parametri reali $k$ ed $h$ la compatibilità del sistema:
$\left\{\begin{array}{c}x+(k-1) y+k z=-k \\ 2 x+2 z=-h \quad \text { e se ne dia una interpretazione geometrica in } \mathcal{R}^{3} \\ k x+\left(k^{2}-k\right) y+k^{2} z=-1\end{array}\right.$
Per $k=2$ e $h=4$ si espliciti, se esiste, la soluzione (o le soluzioni) con uno dei metodi conosciuti (Cramer, Gauss).
42
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Livello 0
La matrice
* (A|b) = {{2, 0, 2, - h}, {1, (k - 1), k, - k}, {k, (k^2 - k), k^2, - 1}}
ha sottomatrici quadrate massime
* A = {{2, 0, 2}, {1, (k - 1), k}, {k, (k^2 - k), k^2}} 0
* A1 = {{0, 2, - h}, {(k - 1), k, - k}, {(k^2 - k), k^2, - 1}} -2 (k - 1)^2 (k + 1)
* A2 = {{2, 2, - h}, {1, k, - k}, {k, k^2, - 1}} 2 (k - 1)^2 (k + 1)
* A3 = {{2, 0, - h}, {1, (k - 1), - k}, {k, (k^2 - k), - 1}} 2 (-1 + k)^2 (1 + k)
con minori
* |A| = 0
* |A1| = - 2*(k + 1)*(k - 1)^2
* |A2| = |A3| = + 2*(k + 1)*(k - 1)^2
quindi una prima condizione necessaria di compatibilità è: k = ± 1.
SE |k| != 1 ALLORA IL SISTEMA E' INCOMPATIBILE.
Quindi, per (h, k) = (4, 2) non esistono soluzioni.
Infatti
* (2*x + 2*z = - h) & (x + (k - 1)*y + k*z = - k) & (k*x + (k^2 - k)*y + k^2*z = - 1) & (h = 4) & (k = 2) ≡
≡ (2*x + 2*z = - 4) & (x + (2 - 1)*y + 2*z = - 2) & (2*x + (2^2 - 2)*y + 2^2*z = - 1) ≡
≡ (x + z = - 2) & (x + y + 2*z = - 2) & (2*x + 2*y + 4*z = - 1) ≡
≡ (z = - (x + 2)) & (x + y - 2*(x + 2) = - 2) & (2*x + 2*y - 4*(x + 2) = - 1) ≡
≡ (z = - (x + 2)) & (y = x + 2) & (2*x + 2*(x + 2) - 4*(x + 2) = - 1) ≡
≡ (z = - (x + 2)) & (y = x + 2) & (- 4 = - 1) ≡
≡ (z = - (x + 2)) & (y = x + 2) & (Falso) ≡
≡ Falso ≡ sistema incompatibile.
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Per k = - 1
* (2*x + 2*z = - h) & (x + (k - 1)*y + k*z = - k) & (k*x + (k^2 - k)*y + k^2*z = - 1) & (k = - 1) ≡
≡ (2*x + 2*z = - h) & (x + ((- 1) - 1)*y + (- 1)*z = - (- 1)) & ((- 1)*x + ((- 1)^2 - (- 1))*y + (- 1)^2*z = - 1) ≡
≡ (2*x + 2*z = - h) & (- x + 2*y + z = 1) & (- x + 2*y + z = - 1) ≡
≡ (2*x + 2*z = - h) & (Falso) ≡
≡ Falso ≡ sistema incompatibile.
==============================
Per k = + 1
* (2*x + 2*z = - h) & (x + (k - 1)*y + k*z = - k) & (k*x + (k^2 - k)*y + k^2*z = - 1) & (k = 1) ≡
≡ (2*x + 2*z = - h) & (x + (1 - 1)*y + 1*z = - 1) & (1*x + (1^2 - 1)*y + 1^2*z = - 1) ≡
≡ (z = - (x + h/2)) & (x - (x + h/2) = - 1) & (x + y - (x + h/2) = - 1) ≡
≡ (z = - (x + h/2)) & (h = 2) & (x + y - (x + 2/2) = - 1) ≡
≡ (z = - (x + h/2)) & (h = 2) & (y = 0) ≡
≡ (h = 2) & (y = 0) & (z = - (x + 1))
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CONCLUSIONI
1) Per k != 1 (anche per il caso richiesto) il sistema è incompatibile.
2) Per (k = 1) & (h != 2) il sistema è incompatibile.
3) Per (k = 1) & (h = 2) il sistema è indeterminato con un grado di libertà e vale
* (y = 0) & (z = - (x + 1))
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Genius I
@exprof grazie mille.
Volevo sapere cosa comportasse il determinate uguale a zero della matrice 3x3 A
@edoardo_bonaccolta
Se la matrice dei coefficienti non può avere rango massimo, per la compatibilità è necessario che non ce l'abbia nemmeno la matrice estesa.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Rouch%C3%A9-Capelli
