Sistema letterale intero con metodo di Cramer

{x(b+1)-y(b^2-1)=b^2+1

{x-y(b-1)=1

Determinante dei coefficienti:

-(b+1)(b-1)+(b^2-1)=0

Ciò indica che il sistema non è determinato!
Analizziamo i determinanti associati alle incognite

alla x: -(b^2+1)(b-1)+(b^2-1)=(b-1)(-b^2-1+b+1)=(b-1)*b*(1-b)

alla y: (b+1)-(b^2+1)=b - b^2 = b*(1-b)

ciò basta per dire che

per b =0 v b=1 il sistema è indeterminato, per altri valori di b è impossibile.

Verifica: b=0

{x·(0 + 1) - y·(0^2 - 1) = 0^2 + 1

{x - y·(0 - 1) = 1

Quindi:

{x + y = 1

{x + y = 1 SISTEMA INDETERMINATO

Verifica b=1

{x·(1 + 1) - y·(1^2 - 1) = 1^2 + 1

{x - y·(1 - 1) = 1

quindi:

{x = 1

{x = 1 SISTEMA INDETERMINATO

IL RISULTATO ATTESO E' COMPLETAMENTE ERRATO.
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NON SONO D'ACCORDO COL TUO TITOLO, IN ENTRAMBE LE PARTI.
"Sistema letterale intero"
Dire letterale è pleonastico: si vede.
Dire intero è equivoco: se intendi "senza frazioni" è azzardato senza conoscere (b, x, y); se invece intendi "da risolvere in Z" beh, dovevi esplicitarlo.
"con Metodo di Cramer"
Non lo farò mai, contro il volere del Prof. Gabriel Cramer stesso: lui scrisse chiaramente che l'algoritmo era stato ideato per dimostrare, non per calcolare.
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Per me il primo passo da fare e costruire una soluzione simbolica del sistema parametrico da discutere (tu, se ci tieni, usa pure il Metodo di Cramer: io non lo farò.) e poi condurre l'esame su quella. Ah, io il parametro unico lo chiamo k e uso l'operatore di moltiplicazione "* asterisco" esplicito.
* (x(b+1)-y(b^2-1)=b^2+1) & (x-y(b-1)=1) ≡
≡ ((k + 1)*x - (k^2 - 1)*y - (k^2 + 1) = 0) & (x - (k - 1)*y - 1 = 0) ≡
≡ (y = ((k + 1)*x - (k^2 + 1))/(k^2 - 1)) & (k != ± 1) & (y = (x - 1)/(k - 1)) & (k != 1) ≡
≡ ((x - 1)/(k - 1) = ((k + 1)*x - (k^2 + 1))/(k^2 - 1)) & (y = (x - 1)/(k - 1)) & (k != ± 1) ≡
≡ ((x - 1) = ((k + 1)*x - (k^2 + 1))/(k + 1)) & (y = (x - 1)/(k - 1)) & (k != ± 1) ≡
≡ ((k - 1)*k/(k + 1) = 0) & (y = (x - 1)/(k - 1)) & (k != ± 1)
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SU QUESTA SOLUZIONE SIMBOLICA SI DISCUTONO I SOTTOCASI
Si nota anzitutto che la specificazione "intero" è pleonastica come "letterale": che (k, x, y) siano in Z o meno, la situazione non muta di un ette.
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A) Per k = ± 1 si vïola il terzo congiunto: il sistema è impossibile.
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B) Per k = 0 (MA NON per k = 1) si ha
* ((0 - 1)*0/(0 + 1) = 0) & (y = (x - 1)/(0 - 1)) & (0 != ± 1) ≡
≡ (0 = 0) & (y = 1 - x) & (Vero) ≡
≡ y = 1 - x
il sistema è indeterminato con un grado di libertà.
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C) Per k non in {- 1, 0, 1} si ha
* ((k - 1)*k/(k + 1) = 0) & (y = (x - 1)/(k - 1)) & (k != ± 1) ≡
≡ ((non zero)/(k + 1) = 0) & (y = (x - 1)/(k - 1)) & (Vero) ≡
≡ (Falso) & (y = (x - 1)/(k - 1)) & (Vero) ≡
≡ Falso
il sistema è impossibile.