Spiegare gentilmente i ragionamenti e argomentare.
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Livello 2
Calcoliamo i determinanti delle matrici necessarie per applicare Cramer.
$ det A = \begin{vmatrix} a&a \\a+1&3-a \end{vmatrix} = 2a(1-a) $
nota: per applicare Cramer è necessario imporre che $ a \ne 0 \; ∧ \; a \ne 1$
$ det A_x = \begin{vmatrix} 1&a \\2&3-a \end{vmatrix} = 3(1-a) $
$ det A_y = \begin{vmatrix} a&1 \\a+1&2 \end{vmatrix} = -(1-a) $
Dobbiamo considerare 3 casi:
i) Se $ a \ne 0 \; ∧ \; a \ne 1$ allora possiamo usare Cramer
$ x = \frac{detA_x}{detA} = \frac{3(1-a)}{2a(1-a)} = \frac{3}{2a} $
$ y = \frac{detA_y}{detA} = \frac{-(1-a)}{2a(1-a)} = -\frac{1}{2a} $
ii) Se a = 0 il sistema è impossibile (vedi 1° equazione)
iii) Se a = 1 il sistema diventa
$ \begin{cases} x+y=1 \\ 2x+2y= 2 \end{cases} $
Il sistema, in questo caso, è indeterminato.
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Livello 6