Sistema con 2 equazioni al quadrato

@beppe

Sistema simmetrico: le x e le y sono interscambiabili.

Questo é un sistema simmetrico non fondamentale.

Lo svolgo prima su carta e poi lo pubblico

{ 2(x^2 + y^2) - 25 a(x + y) - 1826 a^2 = 0

{ xy = 481 a^2

{ 2 [ (x + y)^2 - 2xy ] - 25 a (x + y ) - 1826 a^2 = 0

{ xy = 481 a^2

Inserisci la II nella I

2 (x + y)^2 - 4 * 481 a^2 - 25 a(x + y) - 1826 a^2 = 0

2 u^2 - 25 a u - 3750 a^2 = 0

u = x + y =   (25a +- sqrt (625a^2 + 30000a^2))/4 = (25a +- 175a)/4

x + y = 50a oppure - 37.5 a

Per la prima hai quindi t^2 - 50 at + 481 a^2 = 0

t = (25a +- sqrt (625a^2 - 481a^2)) = 25a +- 12a = 37a V 13 a

e quindi x = 37a , y = 13a o il contrario x = 13a e y = 37a.

Analogamente per l'altra.

Non si tratta di "equazioni al quadrato", ma di "equazioni quadratiche"; e un sistema di N equazioni di secondo grado non è un "sistema di II' grado", ma è di grado 2^N.
Comunque, a parte le precisazioni terminologiche, il testo che mostri è un sistema fra le equazioni di due famiglie di coniche del piano Oxy con un medesimo parametro (a, che io ribattezzo k), quindi con una risolvente quartica in cui perdersi è facilissimo.
La rapidità dei calcoli, per individuare le quattro intersezioni (zero, due o quattro reali) fra l'iperbole e la circonferenza corrispondenti a un dato valore di k, non è un gran che: ci vuole un po' anche senza le formule di Ferrari-Cardano.
------------------------------
* (x*y = 481*k^2) & (2*x^2 + 2*y^2 - 25*k*x - 25*k*y - 1826*k^2 = 0) ≡
≡ (x*y = 481*k^2) & (x^2 - (25*k/2)*x + y^2 - (25*k/2)*y - 913*k^2 = 0) ≡
≡ (x*y = 481*k^2) & ((x - 25*k/4)^2 - (25*k/4)^2 + (y - 25*k/4)^2 - (25*k/4)^2 - 913*k^2 = 0) ≡
≡ (x*y = (13*k)*(37*k)) & ((x - 25*k/4)^2 + (y - 25*k/4)^2 = (7929/8)*k^2)
Per k = 0 entrambe le coniche degenerano e le quattro intersezioni, tutte reali, coincidono nell'origine punto quadruplo.
Per k != 0 tutte le iperboli sono centrate nell'origine, con asintoti gli assi coordinati (x = 0 e y = 0 si escludono dal sistema) e con asse focale la bisettrice dispari y = x (481*k^2 > 0 per ogni k); le circonferenze hanno centro C(25*k/4, 25*k/4) su quella bisettrice e raggio r(k) = (3/4)*√(1762*k^2)) ~= 31.5*|k|.
NOTA: da qui in poi intendo che k, x, y siano non nulli.
------------------------------
Osservando che
* (13*k - 25*k/4)^2 + (37*k - 25*k/4)^2 = (7929/8)*k^2
si determinano due intersezioni reali per
* (13*k, 37*k) oppure (37*k, 13*k)
tenendo conto delle quali la risolvente quartica si può ridurre a quadratica.
==============================
E' solo dopo una così noiosa analisi preliminare che si costruisce la risolvente come hai fatto tu: si esplicita in y l'iperbole equilatera e si sostituisce nella circonferenza, però subito dopo averla scritta la si divide per il prodotto
* (x - 13*k)*(x - 37*k) = (x^2 - 50*k*x + 481*k^2)
ed è sul polinomio quoto che si cercano le radici corrispondenti alle intersezioni residue.
------------------------------
* (x*y = 481*k^2) & ((x - 25*k/4)^2 + (y - 25*k/4)^2 = (7929/8)*k^2) ≡
≡ (y = 481*k^2/x) & ((x - 25*k/4)^2 + (481*k^2/x - 25*k/4)^2 = (7929/8)*k^2)
---------------
* (x - 25*k/4)^2 + (481*k^2/x - 25*k/4)^2 = (7929/8)*k^2 ≡
≡ (x - 13*k)*(x - 37*k)*(x^2 + (75*k/2)*x + 481*k^2)/x^2 = 0 ≡
≡ x^2 + (75*k/2)*x + 481*k^2 = 0
con discriminante
* Δ(k) = - (2071/4)*k^2
negativo per ogni valore non nullo di k.
==============================
CONCLUSIONI
Le soluzioni reali del sistema dato sono:
* quattro coincidenti nell'origine per k = x = y = 0;
* due simmetriche (x, y ↔ 13*k, 37*k) per k != 0.